Producto Cartesiano

Producto cartesiano

En teoría de conjuntos y en álgebra abstracta, el producto cartesiano de dos conjuntos es una relación de orden que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Aplicación del producto cartesiano

El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicaciones f : I → ∪F cuyo dominio es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:

Donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:

En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones f : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.

Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia sólo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de F son no vacíos) es equivalente a dicho axioma.

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano

Funcion inyectiva

En álgebra abstracta, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (imagen) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a la suma una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

• Si son elementos de tales que , necesariamente se cumple .

• Si son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Simbolicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

math>, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Funcion tryectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos e finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si e tienen el mismo número de elementos.

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:

es biyectiva.

Luego, su inversa:

Funcion inversa

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

• y

• .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. y

2. ,

Entonces:

• Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

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