Producto cartesiano

Producto cartesiano

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

A =

\{1, 2, 3, 4\}

y

B =

\{a,b\}

su producto cartesiano es:

\begin{array}{r|cccc}

b & (1,b) & (2,b) & (3,b) & (4,b) \\

a & (1,a) & (2,a) & (3,a) & (4,a) \\

\hline

A \times B & 1 & 2 & 3 & 4 \\

\end{array}

que se representa:

A \times B =

\{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.1

Índice [ocultar]

1 Definición

1.1 Ejemplos

2 Generalizaciones

2.1 Caso finito

2.2 Caso infinito

3 Propiedades

4 Véase también

5 Referencias

6 Bibliografía

Definición[editar]

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

A \times B = \{ (a, b) : a \in A \text{ y } b \in B \}

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.

El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros.

Ejemplos[editar]

Baraja francesa

Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:

B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) }

El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.

Números enteros

Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).

Pintura y pinceles

Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

T = \{ \, Correspon T0.svg, Correspon T1.svg, Correspon T2.svg, Correspon T3.svg \} \,

P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P1.svg, Correspon P2.svg, Correspon P3.svg, Correspon P4.svg \} \,

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:

Correspon P4.svg CorresCartesi 40.svg CorresCartesi 41.svg CorresCartesi 42.svg CorresCartesi 43.svg

Correspon P3.svg CorresCartesi 30.svg CorresCartesi

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