Producto cartesiano

PRODUCTO CARTESIANO

El Producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

EJEMPLO:

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}.

Solución:

Por comprensión: A x B = {(a, b) / a ϵ A y B ∧ b ϵ B}

Por extensión: A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

Sean A ≠ Ø, B ≠ Ø y C ≠ Ø, conjuntos no vacios, se cumple que:

Vacio del producto cartesiano:

A x B = Ø ↔ (A = Ø V B = Ø)

Conmutativo del producto cartesiano:

A x B = B x A ↔ (A = Ø V B = Ø) V (A = B)

Distributividad del producto cartesiano respecto a:

UNIÓN: A x (B ᴜ C) = (A x B) ᴜ (A x C)

INTRESECCIÓN: A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

DIFERENCIA: A x (B – C) = (A x B) – (A x C)

REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO

La representación gráfica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a través del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital

REPRESENTACIÓN ATRAVÉS DEL DIAGRAMA SAGITAL:

EJEMPLO 1:

Dados los conjuntos A = {José, Martín, Javier} y B = {Ron, Cerveza}.

Solución:

A×B = {(José, Ron), (José, Cerveza), (Martín, Ron), (Martín, Cerveza), (Javier, Ron), (Javier, Cerveza)}

A B

REPRESENTACION ATRAVÉS DEL PLANO CARTECIANO:

Al graficar el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales estamos trabajando. El producto cartesiano puede resultar ser: puntos, segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares.

EJEMPLO 2:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5}:

Solución:

A x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}.

y

5

4

3

2

1

x

1 2 3

EJEMPLO 3:

Dados los conjuntos A = {1, 3} y B = {2, -4, 1}

Solución:

A x B = {(1, 2); (1, -4); (1, 1); (3, 2); (3, -4); (3, 1)}

B x A = {(2, 1); (-4, 1); (1, 1); (2, 3); (-4, 3); (1, 3)}

RELACIONES

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

A B

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas que hacen verdadera una proposición; es decir, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

EJEMPLO 1:

Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 = {(2, 1), (3, 1)}

Se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1:

R1 = {(x, y) / y = 1}

R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente:

R2 = {(x, y) / x < y}

R3 = {(2, 4), (3, 5)}

Está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente:

R3 = {(x, y) / y = x + 2}

EJEMPLO 2:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}

Solución:

R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R3 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R4 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

CLASIFICACIÓN

RELACIÓN INVERSA:

Sea R una relación, entonces la relación {(y, x) / y, x ϵ R} se denomina relación inversa.

Se denota como: Rˉ¹

(y, x) ϵ Rˉ¹ ↔ (x, y) ϵ R

Si R es una relación de A en B, entonces Rˉ¹ es una relación de B en A

RELACIÓN IDÉNTICA:

Sea A un conjunto, entonces la relación dada por {(x, y) / x ϵ A ˄ y = x} se denomina relación idéntica en A.

Se denota como: I_A

(x, y) ϵ I_A ↔ x ϵ A ˄ y = x

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES:

PROPIEDAD REFLEXIVA:

La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con sí mismo.

R  A x A  ( x  A) ((x, x)  R)

EJEMPLO 1:

Sea A = {1, 3, 5}.

Solución:

R = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)}

PROPIEDAD SIMÉTRICA:

La propiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero.

R es simétrica en A  R  A x A  ( x, y) (x R y  y R x)

EJEMPLO 2:

Sea A = {3, 4, 2}

Solución:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}

PROPIEDAD ASIMÉTRICA:

Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

R no es simétrica en A  R  A x A  ( x, y) (x R y  y x)

EJEMPLO 3:

Sea A = {3, 4, 2}

Solución:

R = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA:

Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

R  A x A  ( x, y) (x R y  y R x  x = y)

EJEMPLO 4:

Dado A = {2, 4, 6}

Solución:

R = {(2, 2), (4, 4)}

S = {(2, 4)}

PROPIEDAD TRANSITIVA:

La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.

R es transitiva en A: R  A x A  ( x, y, z) (x R y  y R z  x R z)

EJEMPLO 4:

Dado A = {2, 4, 6, 3}

Solución:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

CONJUNTO DE PARTIDA Y LLEGADA, DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

CONJUNTO DE PARTIDA:

Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un producto cartesiano. Es decir que para A x B, el conjunto de partida es A.

CONJUNTO DE LLEGADA:

Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un producto cartesiano. Es decir que para A x B, el conjunto de llegada es B.

DOMINIO:

El dominio de una función es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida.

Se simboliza Dom f.

Sea f: A → B se tiene que Dom f = A.

RECORRIDO O RANGO:

El rango de una función es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio.

Se simboliza Ran f .

Sea f: A → B se tiene que Ran f = B.

EJEMPLO 1:

Sea A x B = {(2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12)}.

Solución:

El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano:

{2, 3, 5}

El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:

{3, 4, 5, 6, 10, 12}

La relación R de A en B estará formada por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera:

{(2, 4), (3, 6), (5, 10)}

El dominio son las primeras componentes de la relación:

{2, 3, 5}

El rango son las segundas componentes de la relación:

{4, 6, 10}

FUNCIONES

Una función (f ) es una relación entre un conjunto dado “X” llamado dominio y otro conjunto de elementos “Y” llamado codominio o recorrido (también llamado rango o ámbito) de forma que a cada elemento “x” del dominio le corresponde un único elemento f(x) del rango llamado imagen.

NOTACIÓN:

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y recorrido B es:

f : A → B

a → f (a)

f es una función de A y B.

El dominio de una función f se denota también por dom(f ), D(f ).

En f (a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.

VARIABLES:

Los

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