ECUACIONES E INECUACIONES

Ecuaciones.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

Características de las Ecuaciones.

• Tiene dos miembros separados por el signo de igual.

• El signo de igualdad indica que ambos lados son equivalentes, es decir, al resolverlos cada lado se obtiene el mismo resultado, pero en la ecuación han sido anotados de forma diferente.

• Los valores que son desconocidos se anotan con literales, es decir, con letras.

• Los valores que no se conocen se pueden calcular a partir de los que sí se conocen.

Propiedades de las Ecuaciones.

Primera propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación se les suma un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada.

3 x + 1 = 2 x

la solución : x = - 1

3 x + 1 + 5 = 2 x + 5

la solución es también x = -1

Lo mismo ocurre si a ambos miembros se les resta un mismo número.

Segunda propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación en x se les suma una expresión algebraica entera en x, resulta una ecuación equivalente a la dada.

x + 4 = 2 x

x = 4

Sumando la expresión 3 x a ambos miembros, resulta:

x + 4 + 3 x = 2 x + 3 x

que también tiene como resultado x = 4

Análogamente si se resta.

Tercera propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada.

5 x - 2 = 4 x + 8

solución x = 10

Multiplicando ambos miembros por 3:

( 5 x - 2) .3 = ( 4 x + 8) . 3

la solución es también 10

Análogamente si se dividen.

Reglas para resolver ecuaciones

Regla de la suma (trasposición de términos)

Regla de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación le sumamos la misma expresión algebraica se obtiene una ecuación equivalente

Ejemplo.

podemos sumar a ambos miembros:

así obtenemos:

En la práctica la regla de la suma se conoce como trasposición de términos: Para cambiar de miembro a cualquier término, tan solo debemos cambiarle el signo.

Ejemplo:

Los términos y podemos pasarlos al segundo miembro (cambiándole el signo)

Así la ecuación quedaría:

Regla del producto (despejar la incógnita)

Regla del producto: Si multiplicamos o dividimos (por un mismo número) los dos miembros de una ecuación. resulta otra ecuación equivalente.

Ejemplo:

Si dividimos ambos por , obtenemos:

así obtenemos:

En la práctica: lo que está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo y viceversa (lo que está dividiendo pasa multiplicando). Se hace siempre con el objetivo de despejar la incógnita

Ejemplo:

Queremos despejar la (dejarla sola).

Parar ello, el que está multiplicando, lo pasamos al otro miembro dividiendo:

Representación Gráfica de una Ecuación.

Inecuaciones.

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.3

Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: .

• Ejemplo de inecuación condicional: .

Características Generales De Las Inecuaciones:

Sea por ejemplo: 5x + 15 > 30

a) Miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La parte que está a la izquierda se llama primer miembro (5x + 15) y el segundo miembro (30).

b) Términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + o el signo.

c) Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto solución es {x > 3}.

d) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo

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