Ecuaciones e inecuaciones

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ALGEBRA

TEMA 3: ECUACIONES E INECUACIONES

ÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

Índice        Pág.

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1. Conceptos básicos: identidad, ecuación,

ecuación equivalente        2

1. Ecuación lineal con coeficientes enteros. fraccionarios y literales        3
2. Ecuación cuadrática: Resolución por facto-

reo y fórmula general        9

1. Ecuaciones de grado superior con una

Incógnita        12

1. Sistemas de ecuaciones lineales: métodos

de resolución        17

1. Sistemas de ecuaciones no lineales        24
2. Aplicaciones en fracciones parciales propias e Impropias, con y sin factores repetitivos        27
3. Desigualdades: definición, clases, axiomas de

Orden        34

1. Intervalos: definición , notación y operaciones        37
2. Inecuaciones lineales, cuadráticas, polinómicas, Racionales e irracionales        45
3. Valor absoluto: definición y propiedades. Ecua- ciones e inecuaciones        66

Recursos complementarios        74

Bibliografía        79

Actividades de aprendizaje autónomo        80

1. Conceptos        básicos:        Identidad,        ecuación,        ecuación equivalente.

1. Identidad

Se conoce como identidad a toda igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables (Silva, 2011).

Ejemplos:

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

Las identidades se suelen escribir utilizando el signo “igual” para separar los dos miembros, siendo el segundo miembro una repetición o transformación matemática del primero. Expresan una ley o propiedad matemática, de fácil traducción al lenguaje común que se maneja (Bruño, 1984).

1. Ecuación

García (2010) en sus apuntes manifiesta que puede denominarse a una ecuación como la igualdad que contiene una o varias letras, bajo las que se sobrentienden son números incógnitos. Los valores que satisfacen a la ecuación dada, se llaman sus soluciones. Podemos decir entonces que la ecuación es una “igualdad condicional” ya que sólo se satisface para determinados valores numéricos de las incógnitas (Bruño, 1984).

De manera general las incógnitas se designan con las letras del alfabeto (a, b, c…. x, y, z) y si la ecuación tiene una sola incógnita, su solución se denomina raíz de la ecuación.

Una ecuación también consta de términos que no poseen incógnitas, que se llaman términos independientes.

Ejemplos:

3𝑥 + 12 = 5𝑥 − 8

𝑦2 + 5 = 35 − 𝑦

La primera ecuación solamente se verifica (o se transforma en igualdad) para el valor de x=10, mientras que la segunda ecuación se verifica para dos valores y=6 e y=-5.

1. Ecuación equivalente

Se puede decir que dos ecuaciones con iguales incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, e inversamente, todas las soluciones de la segunda ecuación sirven también como soluciones de la primera. También son equivalentes si ambas ecuaciones no tienen solución (García, 2010).

Ejemplo:

La ecuación 𝑥2 + 4 = 6𝑥 − 4 cuyas soluciones son 2 y 4, y la ecuación 𝑥2 + 9 = 6𝑥 + 1 que también tiene como soluciones 2 y 4, por lo tanto, ambas ecuaciones son equivalentes.

1. Ecuación lineal con coeficientes enteros, fraccionarios y literales.

Las ecuaciones se clasifican, atendiendo a la naturaleza de las expresiones que figuran en ambos miembros en varias clases, como son:

• Ecuaciones algebraicas y transcendentes
• Ecuaciones numéricas o singulares
• Ecuaciones literales o generales
• Ecuaciones enteras o fraccionarias
• Ecuaciones racionales o irracionales

También pueden clasificarse en función del número de incógnitas como: de una, de dos, de tres o más incógnitas.

Las ecuaciones pueden ser también de primer grado o lineales, segundo grado o cuadráticas, de tercer grado o cúbicas, etc. según sea el mayor grado exponente de la incógnita (Bruño, 1984).

En el presente capítulo estudiaremos las ecuaciones de primer grado.

1. Definición:

Llamadas también lineales, son aquellas en que la incógnita está elevada al exponente 1. La forma más sencilla de la misma es:

o la equivalente:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑎𝑥 = −𝑏

donde 𝑎 ≠ 0 siempre. Como se observa, ésta última, tiene dos términos, uno de ellos (ax) que contiene la incógnita, y el otro, -b, que comprende todos los términos independientes de ella (Bruño, 1984; Silva, 2011).

1. Resolución:

Para resolver una ecuación (independientemente del tipo que se estudie) hay que conocer algunos principios fundamentales:

...