Ecuaciones E Inecuaciones

Un problema de ingenio frecuente es:

— Pensar un número.

— Sumarle 15.

— Multiplicar por 3 el resultado.

— A lo que se obtiene, restarle 9.

— Dividirlo por 3.

— Restarle 8.

Si la respuesta es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28. ¿Cómo se sabe?

Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas. Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar). Entonces:

.

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

.

Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 4 al número original. De esta manera, restándole 4 a 32 es fácil descubrir cuál había sido el número pensado en principio.

Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor era desconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio de las…

Ecuaciones:

Son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas.

Por ejemplo: y + 2x = 5 ; x2 + a = b + 8 , 2x + 9 = 17.

En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamos ecuación con una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son:

a) 3 x + 4 = 5 x – 8

b) 2 x2 + 20 = 24 x –20

c) log x = 3 – log (x + 2)

Actividad:

• Si x toma los valores 6, –1 ó 10, ¿cuáles de las ecuaciones anteriores se cumplen? ¿Cuáles no se cumplen? .....................................................................................................................................

• ¿Podría determinar todos los valores de x que satisfacen la ecuación b)? ¿Por qué?

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A aquellos valores de x que satisfacen una determinada ecuación se los denomina soluciones de la ecuación. Por ejemplo: 5 es solución de la ecuación –2 x + 4 = –x – 1 puesto que –2  5 + 4 = –5 – 1 = –6 ; sin embargo, 2 no es solución de esa ecuación puesto que –2  2 + 4 = 0 , mientras que –2 – 1 = –3 y 0  –3 .

El conjunto solución de una ecuación determinada puede:

 tener un solo elemento: por ej. 2x = 6 , la única solución de esta ecuación es x = 3 . Verificarlo.

 tener un número finito de elementos: por ej. x3 + x2 – x = 0 tiene como soluciones solamente a , –1 y 0 . Verificarlo.

 no tener elementos: por ej. x2 = –4 , ya que vimos anteriormente que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número no negativo. En este caso decimos que el conjunto solución es vacío.

 tener infinitos elementos: 2x – x = x , puesto que todo número real es solución de dicha ecuación. ¿Por qué?

Actividad:

• ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución?

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• ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución, pero que el conjunto solución posea más de un elemento?

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• ¿Se puede encontrar una ecuación que no tenga ninguna solución en ℝ ?

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• ¿Se puede decir cuál es el conjunto solución de la ecuación x + 2y = 5 ?

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Cuando

...