Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones

IGUALDAD:

Una ecuación es una igualdad de la que se desconocen uno o más valores. Resolver la ecuación es hallar él o los valores de la incógnita que, cuando los reemplazamos en la ecuación, la igualdad se cumple. Una inecuación es una desigualdad de la que se desconoce un conjunto de valores. Resolverla es determinar cuál es el conjunto de valores que verifican la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación, generalmente se expresa como intervalo.

Para resolver una ecuación se deben hallar él o los valores de la incógnita (x) que, cuando los reemplazamos en la ecuación, la igualdad se cumple. Por ejemplo en la ecuación 4 = x + 2, x = 2, el conjunto solución de esta ecuación es S={2}. Para resolver ésta, es necesario agrupar por un lado los valores que tienen x y por otro aquellos valores que no la tienen: 4 + x = 2x ⇒ 4 = 2x – x ⇒ 4 = x. Es importante saber que las ecuaciones que tienen afectada la incógnita con un exponente par (x2) tienen dos soluciones, por ejemplo x2 = 16 ⇒ √16 = |x| ⇒ |x| = 4. Esto se lee módulo de x, lo que significa que el valor es 4, pudiendo ser este positivo (4) o negativo (-4). En este caso el conjunto solución se expresa S= {-4; 4}.

Para resolver inecuaciones usamos un método similar al de resolución de ecuaciones, sólo que al multiplica o dividir ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo –(¼)) x ≤4 ⇒; - (¼) . - (¼) x ≥ 4. - (¼ ) ⇒ x ≥ -1 ⇒ S={(- ∝; -1]}.

En ese caso, se invierte el sentido de la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación se expresa, generalmente en intervalos que representan los valore posibles en que la incógnita cumple la desigualdad. El resultado de una inecuación se expresa generalmente en intervalos teniendo en cuenta el orden. El signo 8 significa que hay infinitas soluciones posibles. En notación de intervalos escribimos esta situación utilizando corchete para el extremo que sí pertenece al intervalo y paréntesis para el extremo que queda fuera de la solución.

Propiedades

ECUACIONES

Primera propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación se les suma un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada.

3 x + 1 = 2 x

la solución: x = - 1

3 x + 1 + 5 = 2 x + 5

la solución es también x = -1

Lo mismo ocurre si a ambos miembros se les resta un mismo número.

Segunda propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación en x se les suma una expresión algebraica entera en x, resulta una ecuación equivalente a la dada.

x + 4 = 2 x

x = 4

Sumando la expresión 3 x a ambos miembros, resulta:

x + 4 + 3 x = 2 x + 3 x

que también tiene como resultado x = 4

Análogamente si se resta.

Tercera propiedad: Si a ambos miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada.

5 x - 2 = 4 x + 8

solución x = 10

Multiplicando ambos miembros por 3:

( 5 x - 2) .3 = ( 4 x + 8) . 3

la solución es también 10

Análogamente si se dividen.

INECUACIONES

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

−x < 5 (−x) • (−1) > 5 • (−1) x > −5

Que es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

Clasificación de las ecuaciones

Ordinarias: Una solo variable independiente.

Parciales: Dos o mas variables independientes.

POR ORDEN

El orden de la derivada mayor que existe en la ec. Diferencial, entiendase por orden a la cantidad de veces que se deriva una funcion ejemplo:

el orden es 3 puesto que la mayor de las derivadas es y“`.

POR GRADO

Es el grado de la derivada de mayor orden que existe en la ecuación diferencial.Entiendase por grado la potencia a la que esta elevada la derivada. Ejemplo:

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