ESTADISTICA PARA NEGOCIOS II

ADMINISTRACION Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

Docente: JAIME ENRIQUE ALCALDE CHIGNE

CURSO: ESTADISTICA PARA NEGOCIOS II

ALUMNA: ELIZABETH PARI CHOQUEHUANCA

TACNA – PERU

2013

TRABAJO ACADEMICO

ESTADISTICA PARA NEGOCIOS II

EJERCICIOS

DESARROOLLO:

1.- El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue una distribución Normal con desviación típica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron los siguientes índices:

280, 240, 270, 285, 270.

a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice de resistencia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizando un nivel de confianza del 95%.

b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximo en la estimación de la media de 5 kg, .será suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas?

SOLUCION

X = Índice de resistencia a la rotura; X → N (µ; 15,6); es decir σ = 15,6; n = tamaño muestral = 5

La media muestral es x= 280 +240+ 270+ 285+ 270/5 = 269

a) Nivel de confianza = 1 – α = 0,95; α = 0,05; Intervalo de confianza I = (x̄- E, x̄ + E), siendo

E=

Sabemos que φ ( ) = p (Z < ) =1 – = 0,975; usando la tabla de la distribución Z → N (0,1), obtenemos = 1,96

Luego E = 1,96* ; I = (269 – 13,674; 269 + 13,674); l= (255,326; 282,674)

b) Queremos que se cumpla que E ≤ 5; * ≤ 5; sustituimos: 1,96* ≤ 5; 1,96* ≤ ; 6,1152 ≤ elevamos al cuadrado; 37,4 ≤ n; Tamaño mínimo: 38

Por tanto no es suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas; habrá que elegir como mínimo 38 cuerdas.

2.- En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 C y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 C.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional.

b) ¿Con que nivel de confianza podemos afirmar que la media de la población está comprendida entre 36,8 °C y 37,4 °C?

SOLUCION

x= temperatura; n = 64; x̄ = 37,1; X → N (½; 1,04), es decir σ = 1,04

a) Nivel de confianza = 1 – α = 0,9; α = 0,1; In⁴ervalo de confianza I = (x̄- E, x̄ + E), siendo E = ࠕ

Sabemos que φ (₁)= ; usando la tabla de la äistribución Z → N (0,1), obtenemos = 1,645

E= ; I = (37,1 – 0,21385; 37,1 + 0,21385); I= (36,89:37,31)

b) Nos dicen que el intervalo de confianza es I = (36,8; 37,4); tenemos que calcular el nivel de confianza = 1 – α

Usamos, por ejemplo, la amplitud del intervalo: A=2E=

Despejando obtenemos: =2,31. Sustituimos en la fórmula φ ( )=

Φ (2,31)= ; buscamos en la tabla de la distribución N (0,1) y obtenemos que φ (2,31)= 0,9896

Luego 0,9896 = ; despejando α = 0,0208; Por tanto el nivel de confianza es 1- α = 1 -0,0208 = 0,9792 = 97,92%

3.- En un determinado barrio se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a 106.000 pta. con una desviación típica de 20.000 PTAS.

• Si se toma un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de los ingresos mensuales de toda la población?

• Si se toma un nivel de significación igual a 0,01, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 3.000 PTAS.?

SOLUCION

Para el nivel de confianza del 95%, por lo que el intervalo de confianza será:

Para el nivel de significación de 0,01, el nivel de confianza es 0,99 y será tal que:

Como el error máximo cometido es 3.000 ptas. Y:

El tamaño mínimo de la muestra será de 295 personas.

4.- Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflación en el año, en siete países. Las previsiones han sido

1,5 2,1 1,9 2,3 2,5 3,2 3,0

(a) Utilizando estos datos, construye un intervalo de confianza al 99% para la media de la previsión de inflación, en estos siete países. Indica los supuestos que necesitas hacer

(b) Construye un intervalo de confianza, también al 90%, para la desviación típica

(c) Los expertos opinan que el intervalo de confianza calculado para la media es demasiado amplio, y desean que su longitud total sea de 1,2 puntos. Hallar el nivel de confianza para este nuevo intervalo.

a). n = 7

Media de la muestra = (1.5 + 2.1 + 1.9 + 2.3 + 2.5 + 3.2 + 3.0) / 7 = 2.357

Desviación estándar de la muestra: S^2 =[(1.5-2.357)^2+(2.1-2.357)^2 +(1.9-2.357)^2+(2.3-2.357)^2+(2.5-2.357)^2+(3.2-2.357)^2+(3.0-2.357)^2] / 7

S^2= 0.30816 * S = 0.555

Calculo de t para (n – 1) g.l. = (7-1) = 6 g.l.

t ( 0.01, 6 g.l.) a dos colas = 3.7074

X ±t Sn=2.357 ±3.7074 0.5557=2.357±0.7777

LS = 2.357 + 0.7777 = 3.1347LI = 2.357 – 0.7777 = 1.5793

1.5793 < µ < 3.1347

b). L = 1.0

L=2t Snt= Ln2S=1.0 x 72 x 0.555=2.3836

El valor de t se ubica en la tabla en sentido contrario:

Para 6 g.l. y un área de 2.3836 se tiene un alfa de ≈ 0.05 para una t = 2.4469

El nuevo nivel de confianza del nuevo intervalo es: 1 – 0.05 = 0.95 = 95%

PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIONAL π DE UNA POBLACIÓNBINOMIAL

Si p es una proporción de una muestra aleatoria n (grande) obtenida de una población binomial con parámetro π, entonces:

Identificamos la variable

X ≡ Previsión de la inflación (de un país)

X ~?

Se considera la muestra

Muestra teórica: X 1, X 2,..., X 7(es decir, se van a tomar las previsiones de inflación en siete países) Muestra numérica: x1, x2,..., x7→1,5 2,1 1,9 2,3 2,5 3,2 3,0

(a) Intervalo de confianza para la media

Para elegir la fórmula adecuada con que calcular el intervalo de confianza, tenemos en cuenta que:

•El tamaño muestral= 7, es pequeño, por lo que en ningún caso debemos pensar en la fórmula para intervalos asintóticos

•Para el caso de pocos datos, en la asignatura sólo hemos considerado intervalos para la media de poblaciones normales, así que es necesario suponer que X ~ N (μ, σ).Obviamente, en la realidad habría que tener cierta certeza en que esta suposición sea correcta, no se podría hacer sin justificación

•Finalmente, no nos informan del valor de la desviación típica poblacional, por lo que es necesario estimarla mediante la cuasidesviación típica muestral (sabemos que para pocos datos se debe utilizar esta cantidad, no la desviación típica sin corregir).En resumen, concluimos que debemos utilizar la expresión:

Donde ahora es el valor de la distribución t de Student, con valor de parámetro n-1= 7-1 = 6, tal que , es decir, el valor tal que deja un área igual a a su derecha (cola superior).

Vamos a calcular las cantidades que aparecen en la fórmula:

Como se pide utilizar un nivel de confianza del 99%, hacemos α = (100-99)/100 = 0,01. El cuantil lo buscamos en la tabla de la distribución t de Student. Como la tabla nos informa de probabilidades de sucesos de la forma , el valor que deja una probabilidad 0,005 por encima de él es el que deja una probabilidad 0,995 por debajo de él, así que en la tabla en realidad buscamos el valor

INTERVALO DE CONFIANZA.

Sea la variable aleatoria continua.

X: inflación prevista en los países.

Supuestos:

Se asume que las previsiones de inflación tomadas en los 7 países son independientes.

Cada una de las previsiones de inflación se distribuye como una Normal.

Análisis del problema:

Se hace inferencia de la media de la previsión de inflación para una población.

La varianza poblacional (σ²) es desconocida.

El tamaño de la muestra es pequeña (n = 7).

En consecuencia, la distribución es la T-Student.

IC (μ) = media(X) ± t(α/2,n-1)*s / √n

Donde

● Media(X) = 2.3571..... Media aritmética de la muestra.

● s = 0.5996..... Desviación estándar de la muestra.

● 1 - α = 0.99 ⇨ α = 0.01

● n = 7

● T (α/2,n-1) = t(0.005,6) = 3.7074

IC (μ) ₉₉ = 2.3571 ± 3.7074*0.5996 / √7

IC (μ) ₉₉ = 2.3571 ± 0.8402

1.5169 ≤ μ ≤ 3.1973

La previsión de inflación poblacional (μ) se encuentra entre 1.5169 y 3.1973 con un nivel de confianza del 99%.

5.- Se hicieron determinaciones, del nivel de contaminantes en el suero de 16 personas expuestas a un químico nocivo y se registraron los siguientes valores en mg/Kg:

15.6 14.0 16.2 13.9

14.8 17.3 14.7 14.8

14.4 17.4 15.7 17.5

16.6 18.6 16.9 13.8

Suponga que la población mostrada es normal, calcule el intervalo de confianza del 95% para la media de los niveles de contaminación. (Aplicación de “T” de Student)

SOLUCIÓN

n = 16

Para la media = [Ec 1.1]

Para la varianza s = [Ec 1.2]

Sustituyendo, en las ecuaciones

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