Estadistica II

CAPITULO IV

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Mg. Aníbal José Verbel Castellar Barranquilla, 2015-01

CAPITULO 4

PROBABILIDADES

EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento aleatorio, es un ensayo que ese repite n veces bajo las mismas condiciones y cuyos resultados son impredecibles.

ESPACIO MUESTRAL Ω

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio tal que

Ω ≠ Φ. Puede ser finito e infinito ejemplo:

Espacio muestral finito: “El Nº de pasajes para un bus intermunicipal”

Espacio muestral infinito: “El Nº de llegadas a un banco”

En el primer ejemplo es finito porque el Nº de pasajes nunca excederá la capacidad del bus. En el segundo ejemplo podría estar contando toda la vida las entradas a un banco.

EVENTO O SUCESO

Es un resultado particular de un experimento aleatorio. Un evento se representara por letras mayúsculas A, B, C etc., o con subíndices, A1, A2,…………, An

En los siguientes experimentos aleatorios, determine el número de elementos que constituyen el espacio muestral Ω

Se lanza una moneda

Se lanzan dos monedas

Se lanzan tres monedas

Se lanza un dado

Se lanzan dos dados

Probabilidad Clásica:

Definición:

Dado un espacio muestral Ω ≠ Φ, para un evento A que pertenece a de Ω, la probabilidad de que ocurra A representada por P(A) es iguala a:

Esta definición es válida cuando los eventos A, B, C,…..que pertenecen a Ω tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir son eventos equiprobables o Laplacianos.

Ejercicios

1. Se lanzan tres monedas, cual es la probabilidad de obtener:

Tres sellos

Dos sellos

2. Se lanzan dos dados, cual es la probabilidad de que la suma de las dos caras sea:

a) Dos

b) Tres

c) Cuatro

d) Siete

Probabilidad axiomática:

Axioma 1:

Dado un evento A que pertenece a Ω entonces, P(A) ≥ 0

Axioma 2:

0 ≤ P(A) ≤1

Axioma 3:

P (Ω)=1, es decir, =1

REGLAS DE PROBABILIDAD

REGLA DE LA SUMA.

Dados dos eventos A y B, definidos en un espacio muestral Ω, la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es decir A o B se expresa mediante P (AUB) donde:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Ejercicios:

Se lanza un dado, cual es la probabilidad de que salga el 3 o el 5

Un lote de medicamentos contiene 10 medicamentos tipo A, 15 tipo B y 5 tipo C.

Con el fin de inspeccionar el lote para efectos de control de calidad se selecciona un medicamento aleatoriamente, cual es la probabilidad de que.

Sea un medicamento B

Sea A o B

Sea B o C

El Departamento de Biología registra históricamente que el 70% ganan química, el 60% ganan matemáticas y el 40% ganan ambas asignaturas en el cuarto semestre.

Si un alumno se matricula en el cuarto semestre, cual es la probabilidad de que apruebe cualquiera de las dos asignaturas

Pachito ha encontrado dos causas por la cual el computador se le bloquea: una por virus zombi en el 75 % de los casos y otra por un virus troyano en el 15 % de los casos. La probabilidad de que se bloquee por cualquiera de las dos causas es de 0.85

Cuál es la probabilidad de que se bloquee por ambas causas

De un grupo de 1000 Barranquilleros: 420 adquieren ADN, 105 adquieren el Heraldo y 45 adquieren ambos periódicos. Cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un lector del grupo, adquiera ADN o El Heraldo.

Fig 2 Fig 1

En el caso de que P(A∩B)=0, (Fig.1), entonces A y B se conocen como eventos mutuamente excluyentes, es decir no puede darse la ocurrencia simultánea de ambos eventos.

En el caso de que P(A∩B)≠0 (Fig.2), entonces A y B se conocen como eventos no mutuamente excluyentes, es decir la ocurrencia simultánea de ambos eventos si puede ocurrir.

Nota 2:

Cuando los eventos A1, A2,……………….,An, no pueden ocurrir simultáneamente, (es decir son mutuamente excluyentes), entonces la regla de la suma se extiende asi:

P(A1UA2UA3U………………UAn) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+…………+P(An) es decir:

P[⋃_i^n▒A_i ]=∑_i^n▒〖P(A_i)〗

Cuando los eventos A1, A2,……………….,An, pueden ocurrir simultáneamente, entonces la regla anterior no se cumple.

REGLA DE LA MULTIPLICACION

Dados dos eventos A y B definidos en un espacio muestral Ω, la probabilidad de que ocurra A y B se denota pór P(A∩B).

Definición:

Si A y B son eventos independientes, entonces:

P(A∩B)=P(A)P(B)

Esta definición se extiende a n eventos A1, A2,………….. An

P(A_1∩A_2∩……….∩A_n)=P(A_1 )P(A_2 )…………..P(A_n), es decir:

P(⋂_i^n▒A_i )=∏_(i=1)^n▒〖P(A〗_i )

Ejemplos:

Se lanza una moneda 5 veces, cual es la probabilidad de obtener:

Sello en los 5 lanzamientos

Cuatro sellos y una cara

Sello en los dos últimos lanzamientos

Sello en el quinto lanzamiento?

Mínimo un sello en los cinco lanzamientos

En una fábrica se registra que el 80% de los trabajadores usan el equipo de seguridad exigido por la empresa.

Se seleccionan aleatoriamente tres operarios que deben usar el equipo de seguridad A, B y C, cual es la probabilidad de que:

Solo el operario B los use

Uno de ellos los use

Dos de ellos los use

Ninguno los use

Todos los usen

Un obrero atiende simultáneamente a tres máquinas A, B y C que trabajan de manera independiente; las probabilidades respectivas para que cada máquina funcionen bien durante un día cualquiera son: 0.8, 0.6 y 0.85 respectivamente.

Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera

Las tres máquinas funcionen bien

Las tres se averíen

Funcionen bien solo dos de ellas

Si usted detiene a tres personas en la calle, la probabilidad de que solo una de ella hubiese nacido un viernes.

En un proceso de producción por el que fluye cierto material liviano de izquierda a derecha, se instalan varias estaciones de trabajo: A, B, C, D…. que trabajan independientes, como se muestra en las siguientes figuras. Las probabilidades de que los equipos funcionen bien en cada estación son: P(A) = 0.8, P(B) = 0.9, P(C) = 0.7 , P(D)= 0,85

Determine la probabilidad de que el sistema funcione bien.

b)

c)

d)

e)

Un cuidador de animales salvajes sabe que su efectividad de dar en el blanco es de uno cada cinco disparos. En su voluntad de conservar la especie debe inyectar a un león para realizar estudios de enfermedad del animal. De pronto se acerca un león ferozmente, su arma dispone de solo 4 agujas hasta que el león caiga abatido, momento en que dejara de disparar.

Cuál es la probabilidad de que el cuidador salve su vida?

Cuál es la probabilidad de que salve su vida en el último disparo?

Cuál es la probabilidad de que el cuidador (desafortunadamente) muera en garras del animal.

Sea Ai el evento que indica que el cuidador da en el blanco en el disparo i

Se calcula la probabilidad de que no salve la vida:

P(A_1^c∩A_2^c∩A_3^c∩A_4^c )=(4/5)^4

Luego la probabilidad de que salve la vida es 1-(4/5)^4=0.5904

Ojo: que error se comete si la solución se plantea así:

Probabilidad de que salve la vida es P(A_1∩A_2∩A_3∩A_4 )=(1/5)^4

O también:

Jejeje……………..

Probabilidad de que acierte en el primer disparo= P(A1)=1/5

Probabilidad de que acierte en el segundo disparo = P(A_1^c∩A_2 )=4/5*1/5=4/25

Probabilidad de que acierte en el tercer disparo = P(A_1^c∩A_2^c∩A_3 )=4/5*4/5*1/5=16/125

Probab.de que acierte en el 4º disparo = P(A_1^c∩A_2^c∩〖A_3^c∩A〗_4 )=4/5*4/5*4/5*1/5=64/625

Al sumar: la probabilidad pedida es 0.5904

Si A y B no son eventos independientes, entonces se conocen como Eventos Dependientes o Condicionales

P(A∩B)=P(A⁄B)P(B)

P(A∩B)=P(B⁄A)P(A)

P(A⁄B)=P(A∩B)/P(B)

P(B⁄A)=P(A∩B)/P(A)

P(A⁄B) : Se lee “Probabilidad de que ocurra A dado B”. La condición es B

P(B⁄A) Se lee “Probabilidad de que ocurra B dado A”. La condición es A

P(A⁄B^c )=(P(A∩B^c))/(P(B^c))

P (Bc / A) = 1-

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