Estadistica II

5.1 ESCALA DE MEDICIÓN

Existen diversas definiciones del término "medición", pero estas dependen de los diferentes puntos de vista que se puedan tener al abordar el problema de la cuantificación y el proceso mismo de la construcción de una escala o instrumento de medición. En general, se entiende por medición la asignación de números a elementos u objetos para representar o cuantificar una propiedad. El problema básico está dado por la asignación un numeral que represente la magnitud de la característica que queremos medir y que dicho números pueden analizarse por manipulaciones de acuerdo a ciertas reglas. Por medio de la medición, los atributos de nuestras percepciones se transforman en entidades conocidas y manejables llamadas "números". Es evidente que el mundo resultaría caótico si no pudiéramos medir nada. En este caso cabría preguntarse de que le serviría la físico saber que el hierro tiene una alta temperatura de fusión.

Ejemplo:

En una encuesta realizada en un barrio de esta localidad se observó que hay familias que no tienen hijos, otras tienen 6 hijos que es exactamente el doble de hijos que aquellas que tienen 3 hijos.

5.2 MÉTODOS ESTADÍSTICOS CONTRA NO PARAMÉTRICOS

Es una rama de la estadística que estudia las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución subyacente no se ajusta a los llamados criterios paramétricos. Su distribución no puede ser definida a priori, pues son los datos observados los que la determinan. La utilización de estos métodos se hace recomendable cuando no se puede asumir que los datos se ajusten a una distribución conocida, cuando el nivel de medida empleado no sea, como mínimo, de intervalo.

Las principales pruebas no paramétricas son las siguientes:

Prueba χ² de Pearson

Prueba binomial

Prueba de Anderson-Darling

Prueba de Cochran

Prueba de Cohen kappa

Prueba de Fisher

Prueba de Friedman

Prueba de Kendall

Prueba de Kolmogórov-Smirnov

Prueba de Kruskal-Wallis

Prueba de Kuiper

Prueba de Mann-Whitney o prueba de Wilcoxon

Prueba de McNemar

Prueba de la mediana

Prueba de Siegel-Tukey

Coeficiente de correlación de Spearman

Tablas de contingencia

Prueba de Wald-Wolfowitz

Prueba de los signos de Wilcoxon

La mayoría de estos test estadísticos están programados en los paquetes estadísticos más frecuentes, quedando para el investigador, simplemente, la tarea de decidir por cuál de todos ellos guiarse o que hacer en caso de que dos test nos den resultados opuestos. Hay que decir que, para poder aplicar cada uno existen diversas hipótesis nulas que deben cumplir nuestros datos para que los resultados de aplicar el test sean fiables. Esto es, no se puede aplicar todos los test y quedarse con el que mejor convenga para la investigación sin verificar si se cumplen las hipótesis necesarias. La violación de las hipótesis necesarias para un test invalida cualquier resultado posterior y son una de las causas más frecuentes de que un estudio sea estadísticamente incorrecto. Esto ocurre sobre todo cuando el investigador desconoce la naturaleza interna de los test y se limita a aplicarlos sistemáticamente.

5.3 PRUEBA DE CORRIDAS PARA ALEATORIEDAD

Una corrida es una serie de observaciones similares. La prueba de corridas se usa para probar la aleatoriedad de una serie de observaciones cuando cada observación puede ser asignada a una de dos categorías.

Ejemplo. En relación con una muestra aleatoria de n = 10 individuos, supongamos que cuando se les clasifica por sexo la secuencia de observaciones es: M, M, M, M, F, F, F, F, M, M. Estos datos contienen tres corridas, o series de elementos semejantes.

Respecto de datos numéricos, un medio para obtener el esquema requerido de dos categorías es clasificar cada observación según si es superior o inferior a la mediana del grupo. En general, mucho menos corridas o mucho más corridas que las que serían de esperar al azar resultarían en el rechazo de la hipótesis nula de que la secuencia de observaciones es una secuencia aleatoria.

El número de corridas de elementos semejantes se determina de acuerdo con los datos muéstrales, con el uso del símbolo R para designar el número de corridas observadas. Si n1 equivale al número de elementos muestreados de un tipo y n2 al número de elementos muestreados del segundo tipo, la media y el error estándar asociados con la distribución de muestreo de la estadística de prueba R cuando la secuencia es aleatoria son

Sin, n1 > 20 o n2 > 20, la distribución de muestreo de r aproxima la distribución normal. Por lo tanto, en estas circunstancias la estadística R puede convertirse a la estadística de prueba z.

5.4 UNA MUESTRA: PRUEBA DE SIGNOS

La prueba de los signos puede utilizarse para probar una hipótesis nula referente al valor de la medida de la población. En consecuencia, es el equivalente no paramétrico a la prueba de una hipótesis referente al valor de la medida de la población. Es necesario que los valores de la muestra aleatoria se encuentren al menos en la escala ordinal, aunque no se requiere de supuestos acerca de la forma de la distribución de la población.

Las hipótesis nula y alternativa pueden aludir ya sea a una prueba bilateral o unilateral. Si Med denota la mediana de la población y Med0 designa al valor hipotético, las hipótesis nulas y alternativa para una prueba de dos extremos son:

H0: Med=Med0

H1: Med≠Med0

Se aplica un signo de más a cada valor muestra observada mayor que el valor hipotético de la mediana y un signo de menos a cada valor menor que el valor hipotético de la mediana. Si un valor maestral es exactamente igual a la mediana hipotética, no se le aplica ningún signo, con lo que el tamaño de muestra efectivo se reduce. Si la hipótesis nula sobre el valor de la mediana es cierta, el número de signos de más debería ser aproximadamente igual al número de signos de menos. O, para decirlo de otra manera, la proporción de signos de mas debe ser de alrededor de 0.50. Por consiguiente, la hipótesis nula que se prueba en una prueba bilaterales H0: π=0.50, donde π es la proporción de la población de los signos de mas o de menos. Así, una hipótesis referente al valor de la mediana se prueba en realidad como una hipótesis sobre π. Si la muestra es grande, se puede hacer uso de la distribución normal.

5.5 UNA MUESTRA: PRUEBA DE WILCOXON

La prueba de Wilcoxon puede usarse para probar una hipótesis nula referente al valor de la medida de la población. Pero dado que la prueba Wilcoxon considera la magnitud de la diferencia entre cada valor muestral y el valor hipotético de la mediana, es una prueba más sensible que la prueba de los signos.

Sea X una variable aleatoria continua. Podemos plantear cierta hipótesis sobre la mediana de dicha variable en la población, por ejemplo, M=M0. Extraigamos una muestra de tamaño m y averigüemos las diferencias Di = X - M0. Consideremos únicamente la n diferencias no nulas (n “m). Atribuyamos un rango u orden (0i) a cada diferencia según su magnitud sin tener en cuenta el signo. Sumemos por un lado los 0+i, rangos correspondientes a diferencias positivas y por otro lado los 0-i, rangos correspondientes a diferencias negativas. La suma de los órdenes de diferencias positivas sería igual a la suma de los órdenes de diferencias negativas, caso que la mediana fuera el valor propuesto M0. En las muestras, siendo M0 el valor de la verdadera mediana, aparecerán por azar ciertas discrepancias, pero si la suma de los rangos de un ciclo es considerablemente mayor que la suma de los rangos de otro signo, nos hará concebir serias dudas sobre la veracidad de M0. La prueba de Wilcoxon va a permitir contrastar la hipótesis de que una muestra aleatoria procede de una población con mediana M0. Además, bajo el supuesto de simetría este contraste se puede referir a la media, E(X). Esta prueba es mucho más sensible y poderosa que la prueba de los signos; como se puede apreciar utiliza más información, pues no solo tiene en cuenta si las diferencias son positivas o negativas, sino también su magnitud. El contraste de Wilcoxon puede ser utilizado para comparar datos por parejas. Supongamos que la distribución de las diferencias es simétrica, y nuestro propósito es contrastar la hipótesis nula de que dicha distribución está centrada en 0. Eliminando aquellos pares para los cuales la diferencia es 0 se calculan los rangos en orden creciente de magnitud de los valores absolutos de las restantes diferencias. Se calculan las sumas de los rangos positivos y negativos, y la menor de estas sumas es el estadístico de Wilcoxon. La hipótesis nula será rechazada si T es menor o igual que el valor correspondiente. Cuando n≥25 y la hipótesis nula es cierta, la estadística t tiene una distribución aproximadamente normal. La media y el error estándar asociados con esta distribución de muestreo son, respectivamente: µ_T=(N(N+1))/4 σ_T=√ ((N(N+1) (2N+1))/24) En el caso de una muestra relativamente grande la prueba puede realizarse usando la distribución normal de probabilidad y calculando la estadística de prueba z, de la siguiente manera: Z= (T-µ_R)/σ_T

5.6 DOS MUESTRAS: PRUEBA DE MANN-WHITNEY

La prueba de Mann-Whitney se emplea en aquellos casos en los que deseamos contrastar si existen diferencias entre las poblaciones de donde se extraen dos muestras, que han de ser aleatorias e independientes. La utilidad de esta prueba es la misma que la de la prueba t, pero no parte de supuestos y puede ser aplicada

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