LA INTEGRAL

INDICE

MARCO TEORICO- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Pag. 5-17

CONCLUSION- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Pag 18

BIBLIOGRAFIA - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Pag 19

MARCO TEORICO

¿Qué es para ti la probabilidad?

La probabilidad analiza la posible ocurrencia de eventos y con base a esa posibilidad le asigna un número a cada evento x, dicho número se denomina la “probabilidad del evento x” y en notación de funciones lo escribiremos p(x).

Si los eventos que pueden ocurrir bajo ciertas condiciones son finitos, se dice que la variable analizada es discreta y se tiene que si todos los posibles resultados del evento son {x1, x2,…, xn}, entonces la función de probabilidad presenta las siguientes condiciones:

1. 0 ≤ p(xi) ≤ 1, para toda xi , 1≤ i ≤ n.

2.

Observe que el punto 1 indica que cada evento tiene una probabilidad asignada y el punto 2 establece que una vez que el hecho ocurre, alguno de los xi es el que se cumplió. Por ejemplo, si se tiene un dado y se lanza ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 6?, observe que los eventos que pueden ocurrir son {1,2,3,4,5,6} y puesto que no hay diferencia entre cada caso se tiene p(1)=1/6, p(2)=1/6,…,p(6)=1/6 (se cumplen el primer y segundo punto) y la probabilidad solicitada es p(6)=1/6.

Sin embargo, no son los casos discretos los que nos interesan por ahora, sino los casos de variables continuas, por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente persona que veas tenga una estatura entre 1.75 y 1:80?

En este caso la estatura es una variable continua, es decir la estatura puede tomar cualquier valor en cierto rango y la función de probabilidad será similar a la siguiente:

Fig. 1: Función de probabilidad para una variable aleatoria como la estatura de una persona en metros

En el caso de una variable continua la función de probabilidad satisface las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

Obsérvese que el punto 1 establece que la probabilidad de que el evento de una cantidad especifica ocurra es CERO, es decir es improbable que la siguiente persona que te encuentres en tu camino mida EXACTAMENTE 1.75 m (p(1.75) = 0).

La probabilidad de que la persona que te encuentres mida entre 1.60 y 1.75 m será:

La integral de Gauss:

En matemáticas la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana sobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continúa de Fourier. También aparece en la definición de la función error. A pesar de que no existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para, pero si es posible evaluar la integral definida.

Función gaussiana. El área encerrada bajo esa curva con el eje x es.

Enunciado:

Se consideran las funciones

(a) Demostrar que las funciones y son derivables en y hallar sus derivadas.

(b) Para todo demostrar que y deducir de ello el valor de

(c) Encontrar una función tal que

(d) Usar el apartado anterior para deducir el valor de la integral de Gauss o de probabilidades. Es decir, demostrar que

Resolución

(a) Al ser la función continua en deducimos por el teorema fundamental del Cálculo que la función es derivable en siendo su derivada Al ser la función derivable en es derivable la composición en Usando la regla de la cadena:

Para todo la función integrando en tiene derivadas parciales continuas y por el teorema de la derivación paramétrica, existe en siendo ésta:

Efectuando el cambio de variable obtenemos:

En consecuencia,

(b) Del apartado anterior deducimos inmediatamente que para todo (conjunto conexo), en consecuencia ha de ser (constante) para todo Para

Es decir, para todo

(c) Si es claro que Por otra parte, siempre en consecuencia:

De lo anterior deducimos que

Es decir, la función satisface

(d) Se verifica y de la relación deducimos y por tanto De la relación obtenida en el apartado (b) deducimos que Entonces:

Esto implica:

Teniendo en cuenta que la función es par en queda:

La función integral

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b?

...