Metodología

Introducción al análisis de sensibilidad

El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando se ha aplicado con éxito el método símplex para identificar una solución óptima. Una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del modelo (aij, bi y cj ) son constantes conocidas. En realidad, los valores de los parámetros que se usan en este modelo son sóloestimaciones basadas en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no existen, es por esta razón que los parámetros de la formulación original pueden representar poco más que algunas pequeñas reglas proporcionadas por el personal de línea el que tal vez se sintió presionado para dar su opinión. Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o pesimistas que protegen los intereses de los estimadores.

Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de operaciones mantendrán cierto escepticismo respecto a los valores originales entregados por el computador y, en los muchos casos, los considerarán solamente como un punto de inicio para el análisis posterior del problema. Una solución "óptima" es óptima nada más en lo que se refiere al modelo específico que se está usando para representar el problema real, y tal solución no se convierte en una guía confiable para la acción hasta que se verifica que su comportamiento es bueno para otras representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los parámetros del modelo (en particular bi) se establecen como resultado de decisiones por políticas gerenciales, y estas decisiones deben revisarse después de detectar sus consecuencias.

Estas son las razones por las cuales es importante llevar a cabo un análisis desensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método símplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que afecten la optimalidad de la solución. Sin embargo, también existirán parámetros con valores probables que nos lleven a una nueva solución óptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, ¡o tal vez no factibles!

Por lo tanto, el objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar losparámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima ). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo). En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de valores para el que la solución BF óptima (con los valores ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para permanecer factible).

La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero, identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles. Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los cambios al modelo original alterarían los números de la tabla símplex final (si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas que realizó el método símplex la primera vez). Por lo tanto, después de hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla símplex, se puede verificar con facilidad si la solución BF óptima original ahora es no óptima (o no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para comenzar de nuevo el método símplex (o el símplex dual ) para encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución básica inicial "avanzada".

Para describir este procedimiento con más detalle, considere la siguiente situación. Se ha empleado el método símplex para obtener una solución óptima para un modelo de programación lineal con valores específicos para los parámetros bi, cj y aij. Para iniciar el análisis de sensibilidad se cambian uno o más parámetros. Después de hacer los cambios, sean bi, cj y aij los valores de los distintos parámetros. Entonces, en notación matricial, para el modelo revisado.

_ _ _

b b, c c, a a,

Primer paso es actualizar la tabla símplex final para que refleje estos cambios. Usando la siguiente notación junto a las fórmulas que acompañan a la idea fundamental [ 1) t* = t + y*T y 2) T* = S*T ] , se ve que la tabla símplex final revisada se calcula a partir de y* y S* (que no han cambiado) y la nueva tabla símplex inicial, como se muestra en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Tabla símplex final revisada que resulta de los cambios en el modelo original

Coeficiente de

Ec. Z Variables originales Variables de holgura Lado derecho

Tabla inicial nueva 0 1 1-c 0 0

(1, 2,...,m) 0 A 1 b

Tabla final revisada 0 1 z* - c = y* A - c y * Z* = y* b

(1,2,...,m) 0 A* = S * A S * b* = S* b

A manera de ilustración, suponga que se revisa el modelo original del problema de la Wyndor Glass Co. según se muestra en el cuadro que presentamos a continuación:

Modelo original Modelo revisado

Así, los cambios al modelo original son c1 = 3 4, a31 = 3 4 y b2 =12 24. El siguiente gráfico muestra el efecto de estos cambios. Para el modelo origina el método símplex ya ha identificado la solución FEV óptima en el vértice (2,

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