CHI CUADRADA

UNIDAD II - CHI CUADRADA

La denominada «Distribución Chi Cuadrado» (que usualmente se escribe y se lee como: Ji Cuadrado), es una distribución cuadrática de la probabilidad que utiliza básicamente variables aleatorias continuas. La Distribución Chi Cuadrado de la probabilidad se denota mediante la letra griega minúscula ji elevada al cuadrado (χ2), y consiste en establecer un espacio continuo delimitado por la suma de los cuadrados de n variables aleatorias que son independientes entre sí, espacio dentro del cual la variable X puede asumir cualquiera de los infinitos valores que lo conforman, y por tanto para establecer el valor aproximado de una variable X dentro de ese espacio se procede a incluir una estimación de sus posibles límites que están dados por los distintos «Grados de Libertad» que pueden existir entre las variables aleatorias analizadas que dan origen al referido espacio. En otras palabras, la Distribución Chi Cuadrado en un delimitado espacio conjuga un determinado número de variables aleatorias independientes entre sí, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y 0 que son atribuibles a esas variables, y con unos límites de la probabilidad para el verdadero valor de X delimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las variables aleatorias analizadas.

La Distribución Chi Cuadrado permite calcular la probabilidad existente para que una variable X, que tiene un determinado Grado de Libertad frente a otras variables del mismo conjunto, permanezca dentro de unos «límites ideales» previstos para X cuando tiene ese específico Grado de Libertad o independencia. En otras palabras, la Distribución Chi Cuadrado suministra un modelo ideal sobre los límites probables que deberían regir las fluctuaciones en la aparición de un determinado valor aleatorio X dependiendo del Grado de Libertad que tiene ese valor frente a otras variables similares dentro de un conjunto de datos analizados. La fórmula matemática para calcular la probabilidad de que una variable X permanezca dentro del límite ideal correspondiente al respectivo Grado de Libertad es la siguiente:

χ2k (X) = Xk / 2 – 1 e –X / 2

2k /2 Γ(k / 2)

En esta ecuación la letra k que aparece como un subíndice de la expresión χ2 indica el Grado de Libertad que se toma como límite para calcular la probabilidad de la variable aleatoria X. Esta ecuación para ser despejada requiere el uso de la compleja Función Gamma (representada por la letra griega mayúscula gamma: Γ), y por tanto generalmente para solucionar esta ecuación se emplean métodos basados en la consulta de tablas o en el uso de algoritmos para ordenador que permiten obtener los valores de probabilidad respectivos.

Explicación de los Grados de Libertad usados en la Distribución Chi Cuadrado:

Dentro de la Distribución Ji Cuadrado los denominados «Grados de Libertad» atribuibles a un conjunto de variables equivalen al número de datos independientes entre sí existentes dentro de ese conjunto que es necesario conocer previamente para poder estimar el valor de cualquier otro dato independiente del mismo grupo. Por ejemplo, si se afirma que en un cesto hay un conjunto de 10 manzanas, conformado por 2 clases independientes de manzanas, pues algunas de esas 10 manzanas son de color rojo y otras son de color verde, entonces en tal caso basta con saber que en el cesto hay 4 manzanas rojas para poder calcular inmediatamente que las restantes son 6 manzanas de color verde, es decir, en este caso hay 2 clases de datos independientes entre sí (rojas y verdes), pero para poder conocer el valor de una clase de esos dos datos es siempre necesario conocer previamente el valor de la otra clase de datos, motivo por el cual se concluye que el Grado de Libertad o el grado de independencia existente entre las dos clases de datos tiene un valor de uno (1).

En otro ejemplo, si se afirma que en una sala hay un conjunto de 30 personas, conformado por 3 clases de razas independientes entre sí, pues algunas de esas personas son caucásicas, otras son negras y otras son asiáticas, entonces basta con saber que en la sala hay 12 personas caucásicas y 9 negras para poder calcular exactamente que las restantes 9 personas son asiáticas, es decir, en este caso hay 3 clases de datos independientes entre sí, pero para poder conocer cuál es el valor de una clase particular de esos datos es siempre necesario conocer previamente el valor de las otras 2 clases de datos; en otras palabras, si sólo se sabe que en la sala hay 12 personas caucásicas, ese dato resulta insuficiente para poder saber con exactitud cuántas son negras y cuántas son asiáticas dentro de las restantes 18 personas de la sala, y si sólo se sabe que en la sala 9 personas son asiáticas, ese dato por sí sólo también resulta insuficiente para poder saber cuántas son negras y cuántas son caucásicas dentro de las restantes 21 personas de la sala, motivo por el cual se concluye que el Grado de Libertad o grado de independencia existente entre las tres clases de datos tiene un valor de 2, pues únicamente conociendo el valor de 2 clases de datos se puede saber con exactitud cómo están distribuidas las tres clases de razas dentro de la población total del conjunto analizado.

En otro ejemplo, si se afirma que existe un conjunto formado por 5 números diferentes que al ser sumados dan como resultado 24, en tal caso no es indispensable conocer previamente todos los cinco números que conforman el conjunto, pero para poder calcular el valor exacto de cualquiera de los 5 números que conforman ese conjunto sí es necesario conocer al menos 4 de esos 5 números, como podría ocurrir con la combinación conformada por los siguientes cinco números: 4+3+10+2+X = 24, combinación en la cual necesariamente se requiere conocer al menos 4 números para poder calcular directamente que el quinto número desconocido (representado por la X) es un 5, es decir, el Grado de Libertad existente entre los cinco datos diferentes tiene un valor de 4.

En síntesis, el Grado de Libertad, que usualmente se representa por las letras G.L., equivale a restarle 1 a un conjunto conformado por k variables consideradas independientes entre sí, lo cual se resume en la fórmula: G.L. = k − 1. Así, si el conjunto contiene 5 variables consideradas independientes entre sí, entonces el Grado de Libertad que le corresponde a cualquier variable de ese conjunto es de: G.L. = 5−1 = 4, lo que equivale a que en ese conjunto sólo 4 variables una vez conocidas pueden operar de manera independiente sin necesidad de que deba ser conocido el valor exacto de la quinta variable del conjunto. Y si el conjunto contiene 2 variables independientes, como en el ejemplo de las manzanas verdes y las manzanas

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