Logica matematica semana 7

Técnicas de Demostración

Christian Rodrigo Herrera Vargas

Lógica Matemática y Digital

Instituto IACC

Lunes 5 octubre 2020

Desarrollo

[pic 1]

1.-

Hipótesis: m, n, p son números enteros y (m + n) y (n + p) son números enteros pares.

Conclusión: (m + p) son números enteros pares.

Solución: Como sabemos que m, n y p son números enteros y que (m + n) y (n + p) son pares enteros, esta proposición es verdadera si m, n y p son enteros pares a la vez, o m, n y p son números impares a la vez. Por lo tanto la conclusión es verdadera.

 Si m = 2, n= 4 y p= 6         o        Si m= 1, n= 3 y p= 5

Se cumple que:

                (m + n) y (n + p)

                (2 + 4) y  (4 + 6)

                     6     y     10

                            ó

                (m + n) y (n + p)

                (1 + 3)  y (3 + 5)

                     4      y     8

Se cumple la condición que son números enteros pares.

(m + p)                ó         (m + p)

(2 + 6)                         (1 + 5)

    8                             6

Entonces: m = k, n = k+2 y p = k+4 (siendo una posible conclusión)

2.-

Considerar la proposición 1+2+3+…+ = n(n+1)/2

Le damos un valor lógico a la proposición.

n=1

        1= 1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 1

n=k

        1+2+3+…+k = k (k+1)/2

n=k+1

        1+2+3+…+k + k+1= k (k+1)/2 + (k+1)

(k+1) [k/2 +1] = (k+2)/2

(k+1)(k+2)/2 = (k+1)[k+2]

La proposición es verdadera ya que (k+1)(k+2) es igual a n(n+1). 

3.- Demostrar ¬ (Q→S)

P: Existe una estrella gemela al sol fuera de la vía láctea.

Q: Existe un planeta en una estrella gemela al sol llamado Némesis.

R: Los dinosaurios desaparecieron de la faz de la tierra debido a un cataclismo producido por la aproximación a nuestro planeta de un cuerpo celeste de considerable tamaño.

S: El planeta némesis en la estrella gemela al sol destruirá la tierra.

1.-¬ P V Q                premisa

2.- R                        premisa

3.- (P → S) → ¬ R        premisa

4.- ¬¬R                        Doble Negación 2

5.-¬ (P → S)                M.T.T. 3,4

6.- P Λ ¬ S                Negación de implicación 5

7.- P                        Simplificación 6

8.- ¬¬ P                Doble negación 7

9.- Q                        Simplificación disyuntiva 1,8

10.- ¬ S                Simplificación 6

11.-Q Λ ¬ S                Adjunción 9,10

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