CUACIÓN DIFERENCIAL DE DEFLEXIÓN EN VIGAS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

                                     EXTENSIÓN MATURÍN

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I.

20% III Corte

Profesor:                                                                                     Alumno:

Prof. Lorenzo Mantilla Chaparro                   Patricia Virginia Salazar González

C.I: 23.905.136

Sección: “Virtual”

Maturín, febrero de 2016

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN        

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE DEFLEXIÓN EN VIGAS        

Construcción de la Ecuación Diferencial de la Deflexión de una Viga        

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN        

Proceso De Integración        

Método De Trabajo Virtual        

CONCLUSIÓN        

INTRODUCCIÓN

        Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máquinas para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de yeso o escalona, se suele limitar la deflexión máxima a 1/360 de claro, para que no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones del estudio de la deformación de las vigas es, por otra parte la obtención de ecuaciones de deformación que, junto con las condiciones de equilibrio estático, permitan resolver las vigas estáticamente indeterminadas.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE DEFLEXIÓN EN VIGAS

        Deflexión de una viga: una viga es un elemento estructural que soporta cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek, 2013)

        Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, siendo ésta barras prismáticas y largas que están diseñadas para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de ellas. No obstante, debido a la distribución de las cargas o fuerzas a las que se encuentran sometidas y la manera en que están apoyadas, las vigas se pueden desviar o distorsionar por acción de su propio peso, la influencia de cargas externas o una combinación de ambas. Esta desviación y(x) se conoce como deflexión y se puede determinar por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla.

Ecuación Diferencial

La deflexión se rige por una ecuación diferencial de cuarto orden:  [pic 2]

Donde E es el módulo de Young de elasticidad de la viga.

I es el momento de inercia de un corte transversal de la viga.

Construcción de la Ecuación Diferencial de la Deflexión de una Viga

        Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene una sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de las secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría. Si a la viga se le aplica una carga perpendicular al eje de simetría, debido a su elasticidad, puede distorsionarse, y el eje de simetría distorsionado resultante se llama curva de desviación, curva elástica o simplemente elástica, que es lo que se conoce como la deflexión de la viga.

        Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría, tomado como positivo a la derecha y con origen en 0; y que la desviación y(x) representada por el desplazamiento Y de la curva elástica, es positiva si es hacia abajo. Sea M(x) el momento flexionante en un punto x a lo largo de la viga, por la teoría de la elasticidad se demuestra que M(x) se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación

[pic 3]

        Como M(x) y w(x)  son dos funciones con la misma variable independiente x  pero distintas variables dependientes, para que ambas queden expresadas en términos de y sabemos que el momento flexionante es proporcional a la curvatura k de la elástica:

[pic 4]

        Donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta; y el producto de EI se denomina rigidez a la flexión.

        Ahora, según el cálculo diferencial, también sabemos que[pic 5]. Cuando la desviación y(x) es pequeña, la pendiente Y’ de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, de modo que[pic 6], por lo tanto como [pic 7] a ecuación se transforma en [pic 8] obteniendo así que la segunda derivada de M(x) sea:

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