Grupo Aveiano

Escuela: 45 Ing. Industrial

Sección: KD

Profesor Bachilleres: Grupo Nº1

Antonio Arévalo

Barcelona, Mayo 2014.

Introducción.

Dentro de las matemáticas hay un tipo de estructuras algebraicas llamadas grupos que aparecen en muchos campos entre ellos tenemos el grupo abeliano;

Es un grupo abeliano o grupo conmutativo si se cumplen las siguientes propiedades: 1. para todos los elementos . (Asociatividad).

2. Existe un elemento , tal que cualquiera que sea el elemento (existencia de elemento neutro).

3. A cada elemento le podemos asociar un elemento , de tal forma que (existencia de elementos simétricos).

4. para todos los elementos (conmutatividad)

Explicaremos un poco sobre este grupo mediante el desarrollo de la información.

Desarrollo.

Estructura algebraica : Entendemos por estructura algebraica a un conjunto dotado de operaciones internas y/o externas que cumplen unas determinadas propiedades .

Las Estructuras algebraicas se pueden clasificar en:

• Anillo.

• Campo.

• Grupo.

En este caso estaremos hablando mas sobre que son los grupos especificándose en el grupo Abeliano.

Podemos definir Grupo: Como un grupo G, conjuntamente con una operación binaria <<.S<< que combina dos elementos cualquiera a y b de g para formar otro elemento dotado en a.b o ab deben tener requisitos fundamentales entre uno de ellos o el principal es que debe tener axiomas .

Grupo Abeliano : Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, por una operación o ley de composición interna binaria ‘’o’’ . Se dice que la estructura(A, O) es un grupo abeliano con respecto a la operación o si:

1. (A,O) Es una estructura algebraica grupo.

2. (A,O) Es una operación conmutativa .

También podemos definirlo como (G, +) es abeliano si y solo si la ley de composición interna definida en él es conmutativa:

∀x,y∈G.−x+y=y+x (en notación aditiva).

Los grupos abelianos son llamados así en honor al matemático noruego Niels, Henrik Abel. Los grupos que no son abelianos son denominados no conmutativos (o no conmutativos con menos frecuencia)

Consecuencias

1ª) todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano,

2ª) Todo subgrupo de un grupo abeliano es invariante, es decir:

x+H=H+x, donde x∈G

En los subgrupos abelianos la propiedad de invariancia es más fuerte que en los subgrupos no abelianos, puesto que para los demás se tiene

x1+H=H+x2

Donde x1,x2 pertenecen a G.

En adelante, todo lo que demos sobre grupos será referido a grupos abelianos mientras no se especifique lo contrario.

Operaciones Con Los Subgrupos De Un Grupo Abeliano

Intersección. - La intersección de subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano.

Suma. - La suma de dos subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano que se define en la forma:

H+K= {h+k/h∈H∧k∈K}

Demostración.- x,y∈H+K{x=h1+k1y=h2+k2}x−y=(h1+k1)−(h2+k2)=(h1−h2)+(k1−k2)

y puesto que H y K son grupos (h1−h2)y(k1–k2) serán respectivamente de cada uno de ellos.

La definición de suma de dos subgrupos se puede generalizar a un número finito cualquiera

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