SUBTEMA 1.1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA

SUBTEMA 1.1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA

Notación sigma.

En la sección anterior hemos estudiado la antiderivación. En esta sección investigaremos un problema referente al cálculo del área de una región en el plano. A primera vista, parece que esos dos conceptos no tengan relación alguna. No obstante, descubriremos que están íntimamente ligados por el importantísimo teorema fundamental del Cálculo.

Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se denomina notación sigma debido a que utiliza la letra griega Σ, la sigma mayúscula.

NOTACIÓN SIGMA.

La suma de n términos se escribe

donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Nota: Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es lícito.

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

1.

2.

El próximo teorema, cuya demostración se proporcionan a continuación, resume varias fórmulas útiles de suma de potencias.

TEOREMA 2. FORMULAS DE SUMA.

1. 2.

3. 4.

Demostración de las fórmulas 1 y 2.

DEMOSTRACIÓN:

n ∑c = c + c + … + c (n términos) i = 1

= cn

DEMOSTRACIÓN

n ∑ i = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n i = 1

n ∑ i = n + (n – 1) + (n + 2) + … + 2 + 1 i = 1

si estas dos ecuaciones se suman término a término, el lado izquierdo es

n 2∑ i zi = 1

y el lado derecho hay n términos, cada uno de los cuales tiene el valor (n + 1). En consecuencia

n 2∑ i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … zzi = 1

+ (n + 1) n términos = n(n + 1)

Por lo tanto,

n 2∑ i = zi = 1

Ejemplo de la aplicación de las fórmulas de la suma.

Ejemplo 1

SOLUCIÓN

n ∑ i= 1+ 2 + 3 + 4 FÓRMULA 2 CON n = 4,

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