Sistemas De Informacion Gerencial

Dinámica de sistemas y control

CAPITULO II: VARIABLE DE ESTADO

Representación interna, diagramas de simulación, función de transferencia, linealización

Bibliografía

Representación por variable de estado

Sistemas contínuos

Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio.

La forma más general de representación por variable de estado de un sistema contínuo está dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo. Así tenemos:

ecuación de estado [Ec. 1.a]

ecuación de salida [Ec. 1.b]

Aquí consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas contínuos no-lineales y variantes en el tiempo en forma general.

Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:

[Ec. 2.a]

[Ec. 2.b]

Si el sistema representado por las ecuaciones 1, es un sistema lineal, la dependencia de e y, pasa a ser lineal:

[Ec. 3.a]

[Ec. 3.b]

donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.

Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo:

[Ec. 4.a]

[Ec. 4.b]

En general la dimensión de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).

Sistemas propios y estrictamente propios

Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:

[Ec.5]

donde y(r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u(q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo.

En sistemas físicos reales se da siempre que r es mayor o igual que q. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en función de u pues no sería causal. A los sistemas en que r es mayor o igual a q se los denomina propios. En el caso en que r es mayor que q (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.

Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, no existe transmisión directa, y la matriz D se hace nula en esos casos (tanto en la ecuación 3.b como en la ecuación 4.b).

Sistemas discretos

De igual manera, podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado:

ecuación de estado [Ec. 6.a]

ecuación de salida [Ec. 6.b]

donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente.

Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general.

Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:

[Ec. 7.a]

[Ec. 7.b]

Si el sistema representado por las ecuaciones 6, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la saliida y(k) pasa a ser lineal:

[Ec. 8.a]

[Ec. 8.b]

donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del instante k.

Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k:

[Ec. 9.a]

[Ec. 9.b]

De manera similar pueden definirse nuevamente aquí, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en éstos últimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisión directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas).

Ejemplo:

Considere un sistema multivariable (MIMO) con dos entradas (u1, u2) y dos salidas (y1, y2), expresado mediante las siguientes ecuacianes diferenciales:

[Ec. 10.a]

[Ec. 10.b]

Este sistema es linear variante en el tiempo. Para determinar una descripción por variable de estado para el mismo, asignemos nombres a las siguientes variables: , , , , y .

Reescribiendo las ecuaciones 10, las mismas quedan de la siguiente manera:

[Ec. 11.a]

[Ec. 11.b]

Reemplazando la ecuación 11.b dentro de 11.a de manera que solo quede la derivada primera de x3 en la primera ecuación, obtenemos las ecuaciones de estado, considerando que , , y , que escrita en forma matricial es:

[Ec. 12]

Y además, como , y , la ecuación de salida es:

[Ec. 13]

Notar que la matriz D es igual a cero en este ejemplo, esto es: las salidas no dependen en forma directa de las entradas (el sistema es estrictamente propio).

Ejemplo:

Considere un circuito RLC simple como muestra la siguiente figura. Se desea encontrar para el mismo un modelo descripto por variable de estados.

Como regla general, el número de variables de estado es igual al número de almacenadores de energía del sistema, en circuitos eléctricos éstos son la cantidad de inductores o capacitores que tiene el circuito. La elección común de variables de estado en estos casos son la tensión en el capacitor: vc y la corriente eléctrica a través del inductor i2. Entonces, sea x1 = vc, x2 = i2, u = u(t), y1 = i1, e y2 = i2.

Las ecuaciones necesarias para los estados pueden ser obtenidas mediante las leyes de Kirchhoff:

[Ec. 14]

Luego, eliminando i1 de las dos primeras ecuaciones, y utilizando los nombres de las definiciones de variables de entrada, salida y de estados, obtenemos:

[Ec. 15.a]

[Ec. 15.b]

Quedando las ecuaciones de salida definidas como:

[Ec. 16.a]

[Ec. 16.b]

Y en forma matricial:

[Ec. 17]

[Ec. 18]

Diagramas de simulación

Suele resultar muy útil determinar las ecuaciones de estado y de salida de un sistema mediante ecuaciones diferenciales (o en diferencias para el caso discreto) a partir de los llamados diagramas de simulación.

Los diagramas de simulación consisten en diferentes bloques, cada uno describiendo alguna función u operación sobre las variables de entrada, como lo muestra la siguiente figura:

Los diagramas de simulación nos ayudan a realizar una simulación en un computador digital para los sistemas contínuos, como por ejemplo a través de la herramienta de simulación que ofrece MATLAB, llamado SIMULINK. De ésta última herramienta se han extraído los íconos que muestra la figura. Éste no es el único programa de simulación, y los íconos pueden variar levemente de forma. Los íconos que se muestran no son tampoco los únicos que posee las herramientas gráficas de simulación, hay diversidad de ellos representando cada uno de ellos distintas operaciones o funciones

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