Teoría De La Señal

Introducción

De acuerdo a sus características de transmisión o de uso las señales se utilizan para la comunicación entre seres humanos y entre seres humanos y máquinas. Nos permiten escudriñar el medio ambiente, descubrir detalles de estructuras y expresar lo que no es fácilmente observable, se emplean para controlar y utilizar la energía y la información.

Una señal se puede definir como una función que transfiere información, generalmente a cerca del estado o comportamiento de un sistema físico o de un proceso. Aunque las señales se pueden representar de varias maneras en todos los casos la información está contenida en algún patrón de variación. Las señales se representan matemáticamente como funciones de una o más variables independientes.

Una señal en forma simplificada se puede entender como cualquier mecanismo que es empleado para transmitir información. Ejemplos de señales son una conversación telefónica, ondas electromagnéticas enviadas por un radar, ondas luminosas del semáforo en una intersección de avenidas, etc.

Sistemas de entrada y salida

Un sistemas un conjunto de objetos diseñados para realizar una tarea. Por ejemplo, un sistema amplificado de sonido esta formado por un micrófono, un amplificador y un parlante. La tarea para la cual fue diseñado el amplificador es convertir un sonido de poco volumen como la voz humana en un sonido de alto volumen como la que se necesita para que los jóvenes en un concierto escuchen mejor. Aunque describir un sistema puede ser tan simple o tan complejo como se quiera, todos se pueden describir definiendo una variable o señal de entrada, una salida, y especificando como se puede obtener la señal de salida, en una primera aproximación, es que la salida es igual a la entrada pero con mayor volumen. En la práctica es claro que no es así y que habría diferencias, no solo de volumen, entre la entrada y la salida, por lo que la descripción del sistema debe ser más compleja. Por ejemplo se puede suponer que la componente de alta frecuencia del sonido se ven monos amplificadas que las de baja frecuencia, el sistema no es capaz de reproducir fidedignamente los sonidos agudos. La descripción exacta del sistema, indudablemente requerirá conocer el funcionamiento preciso de cada componente y subcomponente. Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible tarar al sistema como una caja negra en que solo basta conocer la dependencia matemática entre la señal de entrada y la de salida. Al emplear una modelación matemática es posible independizarse de las variables físicas para solo tratar con la señal lógica o matemática.

Señales físicas y lógicas

Las señales tanto de entrara como de salida, de un sistema pueden se de distinta naturaleza. Por ejemplo, pueden ser señales de sonido (ondas de presión) como en el ejemplo anterior. Si se considera solamente el micrófono, tenemos que la entrada es de tipo sonido y la salida de tipo eléctrico. En el sistema amplificador, la entrada eléctrica y la salida eléctrica. Finalmente, en el parlante la entrada es eléctrica y la salida es de sonido. En otros sistemas las señales pueden ser de imágenes de televisión, luz, ondas de radio, etc. Una señal es una variable de una o mas dimensiones, y por definición de variable esta puede tomar distintos valores. En muchos casos toma diferentes valores a medida que el tiempo transcurre es decir, es función del tiempo. El sonido puede ser descrito como la presión en el aire, en un lugar especifico, como función del tiempo. Pero también puede ser escrito como la presión del aire en un momento especifico, como función del lugar. En general, las señales son funciones del tiempo y del espacio, pero es común solo preocuparse de una dependencia a la vez. Para describir el sistema amplificador, la señal de entrada será el sonido en el micrófono y la salida, el sonido en el parlante como función del tiempo.

Existen otros sistemas en los que es mucho más importante preocuparse de la dependencia espacial. Ese es el caso de la fotografía. La señal de entrada es la luz que llega al lente de la cámara, y aquí lo importante es a que lugar del lente llego, es decir, la luz como función de la posición. Algo similar ocurre con la salida, la fotografía revelada, donde lo importante es la distribución espacial del color y no del tiempo que tomo el revelado.

Desde el punto de vista matemático, evidentemente, que la dependencia sea espacial o temporal es indiferente, es decir, da lo mismo que la señal sea f(x) o f (t).En general se usara x como variable independiente en vez del tiempo t. La razón de esto es que el tiempo tiene unas propiedades peculiares, como por ejemplo, que la salida no puede ocurrir antes que la entrada (casualidad), lo que normalmente no es cierto en el espacio. Otra ventaja de usar t en vez de x es que obliga al lector a pensar en un conceptea mas general de frecuencia, que ya no es medida en ciclos por segundo, sino que en ciclos por centímetro, por ejemplo para la transformadas de Llapase, como es común, se usara el tiempo como variable independiente ya que estas son casi exclusivamente empleadas en ese dominio.

Señales y funciones continua y discreta

Una primera clasificación que se puede hacer de las señales es en continuas o discretas. Una señal continua, del tiempo por ejemplo, tiene un valor para cualquier instante, mientras que una señal discreta del tiempo, solo esta definida para algunos instantes de tiempo. Una señal continua puede ser representada matemáticamente por una función, de las que se usan en cálculo, no es así para una señal discreta, en las que la función estaría indefinida para la mayoría del dominio de la señal, es decir, a la variable independiente. Por ejemplo, una señal continua del tiempo, por otro lado, una señal discreta del tiempo significa que el tiempo es discreto y que la señal solo puede tomar valores (cualquier valor) para los valores discretos del tiempo. En resumen, no se debe confundir la definición matemática de una función continua con una señal continua. Es la variable independiente de la señal la que satisface la definición de continuidad matemática y no los valores de la señal.

Las señales continuas las representamos con f(x) y las discretas con f[x]. Los paréntesis cuadrados indican que x solo puede tomar valores enteros. El anisáis de señales continuas y el de las discretas difieren considerablemente.

La gran mayoría de las señales físicas son continuas, por los menos a escalas naturales en las que mecánica cuántica y clásica coinciden. La presión del aire que forma el sonido tiene un valor para cualquier instante de tiempo En teoría esa presión se puede medir a las 9:00 y también un nanosegundo después de las 9:00. La mayoría de señales discretas provienen de señales continuas que han sido muestreadas, por ejemplo, el audio digital de los discos compactos. Cada muestra (tiempo discreto) representa una medida de un intervalo pequeño del audio continuo.

En nuestra vida cotidiana abunda sistema que depende simultáneamente de una variable y sus derivadas. En mecánica clásica, típicamente se encuentran sistemas continuos que dependen de la longitud, de su primera derivada temporal (la velocidad) y de su segunda derivada temporal (la aceleración). Del mismo modo, en circuitos eléctricos que incluyen resistencias, inductancias y condensadores, las tensiones en las inductancias dependen de la derivada temporal de la corriente y en los condensadores, de la integral en el tiempo de la corriente.

La relación entre la entrada y la salida de estos sistemas continuos se describe con ecuaciones diferenciales.

Desarrollo

Las ecuaciones diferenciales pueden ser clasificadas en diferentes categorías. La clasificación más inmediata consiste en identificar la naturaleza de las derivadas que aparecen en la ecuación. Aquellas en que existen derivadas de funciones de una sola variable, se denominan ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que aquellas en que aparecen derivadas parciales se denominan ecuaciones diferenciales parciales. Típicamente cuando se habla simplemente de ecuaciones diferenciales se refiere a las ordinarias.

Una segunda clasificación está dada por el orden de la ecuación diferencial (ordinaria o parcial). Se define orden como la derivada de mayor grado que aparece en la ecuación diferencial ejemplo;

Y´(t)= a(t)y(t) + b(t)

Es una ecuación diferencial de primer orden y

y´´(t) + a(t)y´(t) + b(t)y(t)= c(t)

Es de segundo orden donde a(t),b(c) o c(t) pueden depender de la entrada al sistema x(t)

Una tercera clasificación consiste en identificar si la ecuación es o no lineal.

Ecuaciones lineales son aquellas que cumplen con f(ax+by)=a f(x) + b f(y), donde a y b son constantes.

Es útil expresar las ecuaciones diferenciales en términos de un operador p que denota la operación d/dt y 1/p, la operación integral ∫dt. Esta notación es cómoda por que permite manipular la ecuación en forma algebraica. De este modo podemos reescribir los ejemplos anteriores como:

py (t)= a(t)y(t) + b(t)

y

p2y(t) + a(t)py(t) + b(t)y(t) = c(t)

Las soluciones de estas ecuaciones son la suma de la solución homogénea Yh (t), y la solución particular, Yp (t): y(t) = Yh (t) +Yp(t). La solución homogénea es la solución del sistema donde se han eliminado los términos que no dependen de y(t), en el ejemplo esto corresponde a

Pyh(t) = a(t) yh(t)

Y

P2yh(t) + a(t)pyh(t) + b(t) yh(t) = 0

La

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