Bloques Al Azar

DISEÑO EXPERIMENTAL CON BLOQUES AL AZAR Y DISEÑOSFACTORIALES

INTRODUCCIÓN

Un diseño experimental es una regla que determina la asignación de las unidades experimentales a los tratamientos. Aunque los experimentos difieren unos de otros en muchos aspectos, existen diseños estándar que se utilizan con mucha frecuencia.

El experimentador agrupa las unidades experimentales en bloques, a continuación determina la distribución de los tratamientos en cada bloque y, por último, asigna al azar las unidades experimentales a los tratamientos dentro de cada bloque.

En el análisis estadístico de un diseño en bloques, éstos se tratan como los niveles de un único factor de bloqueo, aunque en realidad puedan venir definidos por la combinación de niveles de más de un factor.

5.1 Metodología del diseño experimental de bloques al azar

En el diseño completamente al azar se supone que las u.e. son relativamente homogéneas con respecto a factores que afectan la variable de respuesta. Sin embargo, algunas veces no tenemos disponibles suficiente número de u.e. homogéneas.

Cualquier factor que afecte la variable de respuesta y que varíe entre u.e. aumentará la varianza del error experimental y disminuirá la precisión de las comparaciones.

Factores como la edad y el peso de los animales, diferentes lotes de material, sexo de las personas y parcelas alejadas son ejemplos de variables externas a los tratamientos que pueden incrementar la variación entre las observaciones de la variable de respuesta.

Usar bloques estratifica a las u.e. en grupos homogéneos. Una buena elección del criterio de bloqueo resulta en menorvariación entre las u.e. dentro de los bloques comparada conla variación entre u.e. de diferentes bloques. Generalmente los criterios de bloqueo son:

• Proximidad (parcelas vecinas).

• Características físicas (edad, peso, sexo).

• Tiempo.

• Manejo de las u.e. en el experimento.

Suponga que se tienen “t” tratamientos que se quieren comparar en “b”bloques.

BLOQUE 1 BLOQUE 2 … BLOQUE b

Y11 Y12 … Y1b

Y21 Y22 … Y2b

… … … …

… … … …

… … … …

Yt1 Yt2 … ytb

El diseño de bloques (completos) al azar implica que en cada bloque hay una sola observación de cada tratamiento. Elorden en que se “corren” los tratamientos dentro de cadabloque es aleatorio (restricción en la aleatorización).

El modelo estadístico para este diseño es:

Se supone que los efectos de tratamientos y bloques son aditivos. La aditividad significa que no hay interacción entretratamientos y bloques. Es decir, la relación entre lostratamientos es la misma en cada uno de los bloques.

El Análisis de Varianza para este diseño se basa en una descomposición de la variabilidad de las observaciones.

Suponiendo normalidad en los errores, se puede demostrar que

Son v.a.independientes con distribución X2 con sus correspondientes grados de libertad.

5.2 Diseño de experimentos factoriales

En estadística, un experimento factorial completo es un experimento cuyo diseño consta de dos o más factores, cada uno de los cuales con distintos valores o niveles, cuyas unidades experimentales cubren todas las posibles combinaciones de esos niveles en todo los factores. Este tipo de experimentos permiten el estudio del efecto de cada factor sobre la variable respuesta, así como el efecto de las interacciones entre factores sobre dicha variable.

Por ejemplo, con dos factores y dos niveles en cada factor, un experimento factorial tendría en total cuatro combinaciones de tratamiento, y se le denominaría diseño factorial de 2×2.

Si el número de combinaciones en un diseño factorial completo es demasiado alto para su procesamiento, puede optarse por un diseño factorial fraccional, en el que se omitan algunas de las combinaciones posibles.

5.3 Diseño factorial 2^K

Cuando en un experimento hay varios factores de interés, utilizamos el diseño experimental factorial.

En el experimento factorial, se analizaran todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada réplica del experimento, para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta.

Un experimento 2k proporciona el menor número de ensayos con los cuales se pueden estudiar k factores en un diseño factorial completo.

Existen varios casos especiales del diseño factorial, pero el más importante de todos ocurre cuando se tienen k factores, cada uno de ellos a dos niveles (22 es el factorial más pequeño).

Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor, asumimos que la respuesta es aproximadamente lineal en el rango de los niveles elegidos de los factores.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta que produce un cambio en el nivel del factor.

Diseño 2k para k = 2 factores.

Este diseño, es el más sencillo de la serie. Consideramos dos factores: A y B, cada uno a 2 niveles.

Normalmente consideramos estos niveles como los niveles alto y bajo del factor ojtet El diseño 22 puede ser representado geométricamente como un cuadrado con 4 ensayos.

Para cualquier diseño 2k con n replicas, la estimación del efecto y de los cuadrados se estiman de la siguiente forma:1

Efecto = Contraste/n2K-1

SSx = [Contraste]2/n2k

Los efectos de interés en el diseño 22, son los efectos principales de A y B y la interacción AB.

Estimaremos cada uno de los efectos de la siguiente forma:

A = [a+ab-b-(1)]/2n

B = [b+ab-a-(1)]/2n

AB = [ab+(1)-a-b]/2n

Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones anteriores se llaman contrastes. Podemos utilizar los contrastes para calcular las sumas de cuadrados para A, B y la interacción AB.

SSA = [a+ab-b-(1)]2/4n

SSB = [b+ab-a-(1)]2/4n

SSAB = [ab+ (1)-a-b]2/4n

SIGNOS ALGEBRAICOS PARA CALCULAR LOS EFECTOS DEL DISEÑO 22

Comb. Tratamientos I A B AB

(1) + - - +

A + + - -

B + - + -

Ab + + + +

TABLA DE ANOVA DISEÑO 22

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Cuadrado Medio FO

Tratamiento A SSA a-1 MSA = SSA / a-1 MSA / MSE

Tratamiento B SSB b-1 MSB = SSB /b-1 MSB/MSE

Interacción AB SSAB (a-1)(b-1) MSA = SSAB / (a-1)(b-1) MSAB/MSE

Error SSE ab(n-1)

Total SST abn - 1 MSE = SSE / ab(n-1)

La SSE (Suma de cuadrados del Error) la obtendremos por diferencia, respecto a la SST

Diseño 2k para k = 3 factores.

Es un diseño de 3 factores, cada uno a 2 niveles y consta de 8 combinaciones. Geométricamente el diseño es un cubo, cuyas esquinas son las 8 combinaciones. Este diseño permite estimar los 3 efectos principales (A, B, y C), las tres interacciones de dos factores (AB, AC, BC) y la interacción de los tres factores (ABC).

La estimación de cualquier efecto principal o interacción en un diseño 2k se determina al multiplicar las combinaciones de tratamientos de la 1ª columna de la tabla por los signos del correspondiente efecto principal o columna de interacción, sumando los resultados para obtener un contraste, y dividiendo el contraste por la mitad del nº total de réplicas.

A = [a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]/4n

B = [b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]/4n

C = [c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]/4n

AB = [abc-bc+ab-b-ac+c-a+ (1)]/4n

AC = [(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]/n

BC = [(1) +a-b-ab-c-ac+bc+abc]/4n

ABC = [abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]/4n

SIGNOS ALGEBRAICOS PARA CALCULAR LOS EFECTOS DEL DISEÑO 23

Comb. Tratamientos I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + -

A + + - - - - + +

B + - + - - + - +

Ab + + + + - - - -

C + - - + + - - +

Ac + + - - + + - -

Bc + - + - + - + -

Abc + + + + + + + +

TABLA DE ANOVA DISEÑO 23

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F0

Tratamiento A SSA a-1 MSA = SSA/a-1 MSA/MSE

Tratamiento B SSB b-1 MSB = SSB/b-1 MSB/MSE

Tratamiento C SSC c-1 MSC =SSC/c-1 MSC/MSE

Interacción AB SSAB (a-1)(b-1) MSAB = SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE

Interacción AC SSAC (a-1)(c-1) MSAC=SSAC/(a-1)(c-1) MSAC/MSE

Interacción BC SSBC (b-1)(c-1) MSBC =SSBC/(b-1)(c-1) MSBC/MSE

Interacción ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABC =SSABC/(a-1)(b-1)(c-1) MSABC/ME

Error SSE abc(n-1)

Total SST abcn-1 MSE =SSE/abc(n-1)

Eliminaremos la interacción triple ABC, por lo que tendremos un grado de libertad más para el error.

Diseño 2k con una réplica.

Si aumentamos el número de factores en un experimento factorial, también aumenta el número de efectos que pueden ser estimados.

Así un experimento 24 tiene 4 efectos principales, 6 interacciones dobles, 4 triples, y 1 cuádruple.

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