Centroides, Areas, Volumenes, Cables Y Vigas

Centroides De Areas y Lineas

En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ΔW del peso de un elemento de la placa puede expresarse como: ΔW=γt ΔA

Donde γ= Peso especifico (peso por unidad de volumen) del material

t= Espesor de la placa

ΔA= Área del elemento

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como: W= γtA. Donde A es el área total de la placa.

Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso especifico γ en lb/ft^3, el espesor t en pies y las áreas ΔA y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que ΔW y W estarán expresadas en libras. Si se usan las unidades del sistema internacional, se debe expresar a γ en N/m^3, a t en metros y a las áreas ΔA y A en metros cuadrados; entonces, los pesos ΔW y W estarán expresados en newtons.

Si se sustituye a ΔW y a W en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre γt, se obtiene.

∑My: x ̅A= X1 ΔA1 + X2 ΔA2 + …. + Xn ΔAn

∑Mx: y ̅A= Y1 ΔA1 + Y2 ΔA2 + …. + Yn ΔAn

Si se incrementa el numero de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el limite.

x ̅A = ∫▒〖x dA〗 y ̅A = ∫▒〖y dA〗 (5.3)

Estas ecuaciones definen las coordenadas x ̅ y y ̅ del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x ̅ y y ̅ tambien se conoce como el centroide C de área A de la placa (fig. 5.3). Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, estas aun definen al centroide del área.

En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ΔW del peso de un elemento de alambre puede expresarse como

ΔW = γa ΔL

Donde γ = peso especifico del material

a = área de la sección transversal del alambre

ΔL= longitud del elemento

Se debe señalar que en el sistema internacional de unidades generalmente se caracteriza a un material dado por su densidad ρ (masa por unidad de volumen) en lugar de caracterizarlo por su peso especifico γ. Entonces, el peso especifico del material se puede obtener a partir de la relación

γ = ρg

donde g = 9,81 m/s^2. Como ρ se expresa en kg/m^3, se observa que γ estará expresado en (kg/m^3)(m/s^2), esto es, en N/m^3.

Centroide de una línea

y y

L =

x ̅ C x ̅

y ̅

0 x 0 x

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre. Las coordenadas x ̅ y y ̅ del centroide de la línea L se obtiene a partir de las ecuaciones

x ̅L = ∫▒〖x dL〗 y ̅L = ∫▒〖y dL〗

Centroide de un volumen

El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en pequeños elementos y expresando que el peso W del cuerpo actuando en G es equivalente al sistema de fuerzas distribuidas ΔW que representan a los pesos de los elementos pequeños. Al seleccionar al eje y vertical con un sentido positivo hacia arriba y representar con r ̅ al vector de posición de G, se escribe que W es igual.

Figura 5.20

A la suma de los pesos elementales ΔW y que su momento con respecto a 0 es igual a la suma de los momentos con respecto a 0 de los pesos elementales.

∑F: -Wj = ∑(-ΔWj) (5.13)

∑_M0: r ̅x (-Wj) = ∑{r x (-ΔWj)}

Se reescribe la siguiente ecuación de la siguiente forma

( r) ̅W x (-j) = (∑r ΔW) x (-j) (5.14)

Se observa que el peso W del cuerpo es equivalente al sistema de pesos elementales ΔW si se cumplen las siguientes condiciones:

W = ∑ ΔW r ̅W = ∑r ΔW

Si se incrementa el numero de elementos y al mismo tiempo se disminuye el tamaño de cada uno de ellos, se obtiene el limite

W = ∫▒dW r ̅W = ∫▒〖r dW〗 (5.15)

Se observa que las relaciones obtenidas son independientes de la orientación del cuerpo. Por ejemplo, si el cuerpo y los ejes coordenados fueran rotados de manera que el eje z apuntara hacia arriba, el vector unitario –j seria reemplazado por –k en las ecuaciones (5.13) y (5.14), pero las relaciones (5.15) permanecerían intactas. Descomponiendo los vectores r ̅ y r en sus componentes rectangulares, se observa que la segunda de las relaciones (5.15) es equivalente a las tres ecuaciones escalares que se presentan a continuación.

x ̅W = ∫▒x dW y ̅W = y dW z ̅W = ∫▒〖z dW〗 (5.16)

Si el cuerpo esta hecho de un material homogéneo de peso especifico γ la magnitud dW del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen total V. Asi se escribe.

dW = γ dV W = γV

Sustituyendo a dW y a W en la segunda de las relaciones (5.15), se escribe.

r ̅V = ∫▒〖r dV〗 (5.17)

O en forma escalar,

x ̅V = ∫▒〖x dV〗 y ̅V = ∫▒〖y dV〗 z ̅V = ∫▒〖z dV〗 (5.18)

El punto cuyas coordenadas son x ̅, y ̅, z ̅ tambien se conoce como el centroide C del volumen V del cuerpo. Si el cuerpo no es homogéneo, las ecuaciones (5.18) aun definen al centroide de su volumen.

La integral ∫▒〖x dV〗 se conoce como el primer momento del volumen con respecto al plano yz. De manera análoga, las integrales ∫▒〖y dV〗 y ∫▒〖z dV〗 definen respectivamente, los primeros momentos del volumen con respecto al plano zx y al plano xy. A partir de las ecuaciones (5.18) se observa que si el centroide de un volumen esta localizado e un plano coordenado el primer momento de volumen con respecto a dicho plano es igual a cero.

Se dice que un volumen es simétrico con respecto a un plano dado si para cada punto P del volumen existe un punto P` del mismo volumen tal que la línea PP` es perpendicular al plano dado y está dividida en dos partes por dicho plano. Bajo estas circunstancias, se dice que el plano en cuestión en un plano de simetría, el primer momento de V con respecto a ese plano es igual a cero y el centroide del volumen está localizado en el plano de simetría. Cuando un volumen posee dos planos de simetría, el centroide del volumen está localizado en la línea de intersección de los planos. Finalmente, cuando un volumen tiene tres ejes de simetría que se intersecan en un punto bien definido (esto es, que no se intersecan a lo largo de una línea común), el punto de intersección de los tres planos coincide en el centroide del volumen. Esta propiedad permite determinar la ubicación de los centroides de esferas, elipsoides, cubos y paralelepípedos rectangulares, entre otros.

Teoremas de Pappus – Guldinus

Estos teoremas fueron formulados primero por el geometra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matematico suizo Guldinus o Guldin (1577 – 1643), se refieren a superficies y cuerpos de revolución.

Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (figura 5.13), se puede

Falta figura 5.13

Obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la superficie de un toroide o anillo rodando la circunferencia de un circulo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la figura 5.14 se puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiado con respecto al eje que se indica.

Falta figura 5.14

Teorema I : .El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

Demostracion: Considérese un elemento dL de la línea L (fig. 5.15) que rota alrededor del eje x. El área dA generada por el elemento dL es igual a 2лy dL. Por tanto, el área total generada por L es A = ∫▒2лy dL. En la sección 5.3 se encontró que la integral ∫▒y dL es igual a y ̅L, por lo tanto, se tiene

Falta Figura 5.15

A = 2лy ̅L (5.10)

Donde 2лy ̅ es la distancia recorrida por el centroide L de la figura 5.15 se debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre cual rota; si lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que tendrías signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.

Teorema II: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

Demostracion:

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