Teoria De Conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

NOTACION DE CONJUNTOS

a) Notación tabular o por extensión

Cuando se define el conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos separándolos por comas y encerrándolos en llaves.

Ejemplo: el conjunto A consiste de los números 1,3,5,7 y se escribe A{1,3,5,7}

b) Notación descriptiva o notación constructiva

Cuando se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos

Ejemplo: B{x│x es par}

CONJUNTOS

a) Conjunto vacio

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

b) conjunto unitario

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplo:

A = { 5 }

c) conjunto finito

Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.

d) conjunto infinito

Conjunto en el que el número de elementos es ilimitado.El conjunto de los "números contables" {1, 2, 3, ...} es un conjunto infinito. Otro ejemplo es el número de cuadrados en un plano dado.

e)conjunto universal

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

Sean los conjuntos:

A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es

U = { animales }

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Sean y dos conjuntos.

a)Unión

Diagrama de Venn que ilustra

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los tales que . De esta manera es el caso especial donde .

Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces

b)Intersección

Diagrama de Venn que ilustra

Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que es condición necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

c)Diferencia

Diagrama de Venn que muestra A − B

Diagrama de Venn que muestra B − A

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:

.

o dicho de otra manera:

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

Complemento

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por . Es decir

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que y , entonces

,

de manera que

Pero también

...