DETERMINACON DEL TIEMPO DE EFUSION DE UN TANQUE CON AGUA A TRAVES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
angiemorales14Monografía27 de Noviembre de 2015
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DETERMINACON DEL TIEMPO DE EFUSION DE UN TANQUE CON AGUA A TRAVES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DIARLING AHUMADA RODRÍGUEZ e-mail: dahumada3@cuc.edu.co MELKIS GIL REALES
e-mail: mgil4@cuc.edu.co
LUZ MONTERROSA VARGAS e-mail: monterr1@cuc.edu.co KEVIN VALDEZ BERROCAL
e-mail: kvaldez1@cuc.edu.co
DIEGO REY CASTRO
e-mail: drey2@cuc.edu.co
Resumen: El presente proyecto de investigación pretende mostrar cómo influyen las ecuaciones diferenciales lineales en la ingeniería. Para ello, se realizó la determinación del tiempo en el que un tanque o cilindro recto circular de 10 y 20 pies de altura, lleno con agua y con un orificio en el fondo de una pulgada de diámetro, se vacía totalmente, para resolverlo, se usaron las ecuaciones diferenciales de primer orden y el teorema de Torricelli que utiliza velocidad, volumen y gravedad., dando como resultado un tiempo de 17h
53 min 19 seg, lo que significa que en estos tipos de problemas se tiene en cuenta la geometría del tanque y el área del orificio por donde sale el liquido, ya que entre mayor sea este, mas rápido se vaciara el tanque
Palabras claves: ecuaciones diferenciales, teorema de Torricelli, vaciado, volumen, velocidad.
Abstract: The present project of investigation tries to show how they influence the differential linear equations in the engineering. For it, there was realized the determination of the time in which a tank or straight circular cylinder of 10 and 20 feet of height, abundance with water and with an orifice at the back of an inch of diameter, empties totally, to solve it, there were used the differential equations of the first order and Torricelli's theorem that uses speed, volume and gravity., giving like proved a time of 17h 53 min 19 seg, which means that in these types of problems the geometry of the tank is born in mind and the area of the orifice where the liquid goes out, since between major it is this, mas rapid was emptying the tank.
Keywords: differential equations, Torricelli's theorem, emptying, volume, speed.
I. INTRODUCCIÓN
En la ingeniería, muchos de los problemas planteados necesitan de un especial cuidado a la hora de resolverlos, ya que pueden resultar un tanto complicados. A continuación, se considera que una de las posibles soluciones a esos problemas es mediante las ecuaciones diferenciales. Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es en procesos industriales, en la industrias existe – en un momento dado – la necesidad de vaciar los tanques sea confines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. No obstante, se hace un énfasis particular en el vaciado de tanques; el cual es un tema de gran importancia, puesto que provee de conocimientos necesarios para interpretar y analizar el por qué algunos tanques se vacían más rápido que otros, que factores determinan esto y muchas otras respuestas a preguntas de este tópico.
Desde otra perspectiva, este tema se convierte en un tipo de conocimiento esencial, que parte del hecho de comprender porque algunos tanques se vacían mas rápido que otros si tienen el mismo tamaño del orificio de salida y la misma cantidad de liquido. De este modo, se realiza el siguiente trabajo con el fin de determinar por medio de las ecuaciones diferenciales lineales, cual es el tiempo necesario para que un tanque que contenga líquido en su interior, se vacíe totalmente y para
ello se necesita conocer el tema de ecuaciones diferenciales y relacionar las ecuaciones diferenciales con un ejercicio aplicación de las mismas
II. MARCO TEÓRICO
En las ciencias y la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que con tiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.(ed aplicadas)
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es toda ecuación que se puede escribir en la forma
Donde P y Q son funciones continuas de x.
Al resolver las ecuaciones diferenciales, se pretende encontrar una solución de esta misma, que se convierte en una función que al reemplazar a la función incógnita, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Siendo así, hay tres tipos de soluciones:
Solución general, Solución particular y Solución singular.
Una vez conocido brevemente algo sobre las ecuaciones diferenciales, se da inicio a una de las aplicaciones más utilizadas en la vida cotidiana: el problema de vaciados de tanques.
Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es en procesos industriales. En la industrias existe la necesidad de vaciar sus tanques sea confines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro aprovechando las
diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente.
En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Además, se busca eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los productos elaborados.
El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos.
Lo primero, es comprender que muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.
Para resolver este tipo de problemas, es fundamental conocer el teorema de Torricelli
III. TEOREMA DE TORRICELLI
El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.
A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":
Si el orificio es de forma triangular, la constante
0,65 ≤ k ≤ 0,75.
Donde:[pic 2][pic 3]
es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio.
v0 es la velocidad de aproximación.
h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
g es la aceleración de la gravedad.
El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que se tiene una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo se puede plantear el balance general de masas y energía del sistema igualando la energía
cinética con la energía potencial ([pic 4]
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