ECUACIONES DIFERENCIALES TAREA DE INVESTIGACION

ECUACIONES DIFERENCIALES

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En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo:

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.

Consiste en dividir los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; o sea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: X0, X!...... del intervalo de interés . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

.

La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como .

Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

Gráfica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de pendiente . Esta recta aproxima en una vecindad de . Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

Se resuelve para :

Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

Ejemplo

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