ESQUEMA PARA LA ELABORACIÓN DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

INTRODUCCIÓN “TÉCNICA”.

I.1.- Objetivos.- El objetivo de este proyecto fue calcular el volumen de una sandia utilizando cuatro métodos diferentes las dos primeras soluciones fueron en base al calculo matemático universitario, otro utilizando una formula, y otro utilizando mediciones manuales

I.2.- Justificación.- El presente trabajo se desarrollo con la finalidad de ampliar los conocimientos sobre el cálculo matemático en las diversas formas graficas de las frutas que podemos apreciar a diario y que la vez forman similitudes con los diferentes tipos de ecuaciones que se conocen en el cálculo matemático universitario.

I.3.- Alcance.- El trabajo nos dará una idea clara de cuanto de porcentaje de efectividad nos da usando los cálculos matemáticos.

I.4.- Metodología y técnicas.- Para el presente trabajo se han usado tanto formulas matemáticas, como principios de la física y ayuda de elementos extras.

I.5.- Conclusión.- Comprobar la exactitud de los elementos de modelos del cálculo matemático universitario.

II.- INTRODUCCIÓN TEÓRICA.

Teorema del centroide de Pappus

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución.

Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

• Primer teorema

El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a C sobre el mismo plano, es igual a la longitud de C, s, multiplicada por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.

Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor r y radio mayor R es

Entiéndase como radio menor al radio de la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.

• Segundo teorema

El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.

Por ejemplo, también el volumen de un toro de radio menor r y radio mayor R es

Donde r es el radio de la circunferencia menor transversal y R es el radio de la circunferencia mayor o generatriz.

Sólido de revolución

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersecar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución

Cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Método de discos.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

Método de cilindros o capas.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

• Integral múltiple

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).

La doble integral como el volumen bajo una superficie. La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables de la integral.

• Métodos de integración

Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R2 esto da el área de la región, mientras que si es una región de R3 da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

Y

Integrando f sobre D:

• Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada y que es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres

Partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

• Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ρΔρΔθ.

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Elipsoide

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

Ecuación cartesiana de un elipsoide

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

Donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

VOLUMEN

El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

Elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación

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