Ecuación Diferencial De Variables Separables Y Reducibles

Ecuación Diferencial de variables separables y reducibles

1.3 ED exactas y factor integrante

Es necesario conocer el término “variable” y “ecuaciones diferenciales” antes de profundizar sobre el tema, una variable representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Ahora, una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida.

En información ajena a esta, se dijo que existen diferentes tipos de ecuaciones de diferenciales, por el momento abordaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias de n-ésimo orden (primer orden), estas tienen una solución que contiene n constantes arbitrarias o solución general. El autor del libro “Ecuaciones diferenciales elementarías” menciona que con frecuencia esta es una solución completa, primitiva completa, integral completa.

Dicho esto podemos empezar a identificar: variables separables; homogéneas (reducibles a variables separables); exactas y con factores integrantes (reducibles a exactas).

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

La definición que da Isabel Carmona Jovel de libro “ecuaciones diferenciales”, cita lo siguiente sobre el termino; La ecuación diferencial de variables separables es de la forma siguiente: f(x) dx + g (y) dy = 0, donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una constante.

Nos proporciona ejemplos, donde explica que el método de solución es por integración directa.

Ejemplo:

FUNCIÓN HOMOGÉNEA (REDUCIBLE)

Esto es, los polinomios en los cuales todos los términos son del mismo grado, también se les conoce como polinomios homogéneos:

X2 – 3xy + 4y2

X3 + y3

X4y + 7y5

Uno de los autores menciona que la ecuación diferencial homogénea es de la forma: M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0, donde M y N tienen la propiedad de que toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n. Por ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables, mediante sustituciones apropiadas.

Las ecuaciones diferenciales homogéneas también tienen la siguiente forma: dy/dx + g (u) = 0 donde u = f (x, y). En este caso el método de solución es usando sustituciones algebraicas apropiadas, se convierten en ecuaciones de variables separables. Una de las más comunes es: y/x = v  y = vx.

Ejemplo; Definir si la f (x,y), es homogénea y si lo es indicar su grado:

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

“Dada la función z = f( x, y), se dice que la expresión dz = fz dx + fz dy es una diferencia total”, el autor maneja que es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como:

df= ∂f/∂x dx+ ∂f/∂y dy

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