Ecuaciones Diferenciales Separables
Enviado por devis1993 • 1 de Octubre de 2019 • Exámen • 2.793 Palabras (12 Páginas) • 107 Visitas
Ecuaciones Diferenciales Separables
Ejercicio 1
𝑑𝑦
x[pic 2]
𝑑𝑥
= 𝑦
Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.
𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7][pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
𝑦 = 𝐶𝑥
Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.
𝑑𝑦
x[pic 13]
𝑑𝑥
= 𝑦
como 𝑦 = 𝐶𝑥 entonces la derivada
𝑑𝑦
[pic 14]
𝑑𝑥
= 𝐶 Reemplazamos en la ecuación diferencial xC= 𝑦 y nos
da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑥.
Ejercicio 2
𝑑𝑦
[pic 15]
𝑑𝑥
= 𝑦
Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.
𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑑𝑥
𝑦
Integramos a ambos lados
𝑑𝑦
∫
𝑦
= ∫ 𝑑𝑥
Resolvemos las integrales a ambos lados
𝑙𝑛𝑦 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑦 = 𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1
Unificamos una sola constante
𝑙𝑛𝑦 = 𝑥 + 𝐶
Aplicamos la definición de logaritmo 𝑙𝑛𝑏 = 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑒𝑎
𝑦 = 𝑒𝑥+𝐶
Aplicamos exponentes de igual base y obtenemos
𝑦 = 𝑒𝑥. 𝑒𝐶
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 obtenemos la función solución de la ecuación diferencial.
𝑦 = 𝐶𝑒𝑥
Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦
como 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 entonces la derivada 𝑑𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 Reemplazamos en la ecuación diferencial 𝐶𝑒𝑥 = 𝑦[pic 16]
𝑑𝑥
y nos da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥.
Ejercicio 3 Para resolver
Ejercicio 4
𝒅𝒚
[pic 17]
𝒅𝒙
+ 𝟒𝒙𝒚 = 𝟎
𝒅𝒚 + 𝒆𝒙−𝒚= 0[pic 18]
𝒅𝒙
Por propiedades de potenciación 𝑒𝑥 = 𝒆𝒙−𝒚[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
Ecuaciones Diferenciales Separables por factorización
Ejercicio 1
(𝒚𝒙 − 𝒚)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎
Factorizamos y obtenemos
𝒚(𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎
Transponemos términos para ubicar las variables con cada diferencial[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]
Ejercicio 2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥
Factorizamos la expresión del diferencial 𝑑𝑦
(1 + 𝑥2) + 𝑦2(1 + 𝑥2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥 (1 + 𝑥2)(1 + 𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥
Transponemos términos
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51][pic 52][pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56][pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
𝒅𝒙 + 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
Algoritmo para saber si una ecuación diferencial es separable aplicando factorización
𝒅𝒚
[pic 67]
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙, 𝒚)
Ejemplo
𝒅𝒚 = 𝑥2 + 𝑥2𝑦2[pic 68]
𝒅𝒙
Necesitamos llevar a la ecuación original a este estado
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