Ejemplo de la Aplicacion de la derivada

República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del poder Popular Para la Defensa.[pic 1]

UNEFA”Universidad Nacional Experimental  Politécnica de las Fuerzas Armadas.”

Asignatura: Matemàtica I

Extensiòn Carùpano –Nùcleo Sucre.

[pic 2]

Facilitadora:                                                                            Bachilleres:

Ana Brazòn                                                                             Cristal Andarcia                                                                                      C.I:27288847                

                                                                                                 Luis Andarcia

                                                                                                C.I:27480079

25 de Abril del 2017

Contenido

Contenido  Pag

1. Introducción                                                                                    
2. Desarrollo                                                                                      

1. Regla de L`Hopital                                                            

• Primera Regla                                                  
• Segunda Regla                                                    
• Otras Indeterminaciones                                

1. Teorema de Rolle y LaGrange                                          
2. Definir Máximos y Mínimos ( Absolutos y Relativos)  
3. Criterio De La 2ª y 1ª Derivada                                      

• Criterio de la primera derivada para                

Determinar los máximos y los mínimos

 De una función

• Criterio de la segunda derivada  11 a12

Para establecer los valores máximos

y los valores mínimos de una función

          E. Concavidad y puntos de inflexión

• Definición de punto de inflexión

1. Trazados de curvas, aplicando los criterios de la primera y segunda derivada determinando, monotonía, concavidad y valores extremos de una función de una variable real.

Introducción

Los orígenes del cálculo se remontan unos 2,500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el "método de agotamiento".

El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, además que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones.
Después de esta época, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las matemáticas, conflictos sociales y políticos que se vivían en esa época alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta situación otro imperio toma las riendas de los avances matemáticos. El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro.Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas que trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Desarrollo

A. Regla de l`Hopital

La Regla de l´Hopital viene como consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy es el método práctico y más efectivo para calcular límites de funciones en los que se presenta una indeterminación del tipo [0/0], o [∞/∞].Este método se atribuye al matemático francés Guillaume de l’Hôpital (1661-1704), aunque el descubrimiento se debe más bien a su maestro, el matemático suizo Johann Bernouilli (1667-1748). El principio general consiste en que, con las hipótesis adecuadas, el comportamiento (convergencia o divergencia) del cociente f 0/g 0 entre las derivadas de dos funciones (en un punto de la recta real, por la izquierda o por la derecha, en +∞ o en −∞) implica el mismo tipo de comportamiento para el cociente f /g entre las dos funciones.

Se presentan asi 2 enunciados mejor conocidos como la primera y segunda regla de L´Hopital:

• Primera Regla:

Se comienza trabajando con la indeterminación del tipo [0/0].antes de trabajar con la primera regla de L´Hospital debemos tener en cuenta los intervalos.

En matemáticas, un intervalo es un conjunto de números reales con la propiedad que cualquier número que se encuentra entre dos números en el juego también se incluye en el conjunto. Cuando hablamos de ellos los suponemos no vacio y no reducido a un punto.

Teorema I:

Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones del teorema del valor medio de Cauchy, en cierto intervalo [a,b] y tales que f (a) = g (a) = 0.

Entonces, si limx→a f ´(x) g ´ (x) existe , también existirá

Lim x→a f (x) g (x) y además lim x→a f (x) g (x) =

 limx→a f ´ (x) g ´(x) También, si limx→a f 0 (x) g 0 (x) = ∞ entonces limx→a f (x) g (x) = ∞

Nota: Si f 0 (a) = 0 y g 0 (a) = 0 y las derivadas f 0 (x) y g 0 (x) satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones f y g , según la hipótesis de el teorema de la Regla de L’Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L’Hôpital,hasta obtener la forma

Teorema II:

Sean f y g funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo [h,+∞ ], donde h es una constante positiva. Sea g ´ (x) 6= 0 para x ∈ [h,+∞ ]. Si limx→+∞ f (x) = 0, y limx→+∞ g (x) = 0 y si limx→+∞ f ´(x) g ´(x) = L entonces limx→+∞ f (x) g (x) = L Además, si limx→+∞ f ´(x) g ´(x) = +∞ entonces limx→+∞ f (x) g (x) = +∞ El teorema II permite aplicar la regla de L’Hôpital a límites que se presenten en la forma 0

  0

Cuando la variable independiente tiende hacia +∞. También puede aplicarse cuando x → −∞ y se tiene que f (x) → 0, y g (x) → 0.

El teorema II nos permite aplicar la regla de L’Hôpital a límites en que se presenta la forma 0 0 , cuando la variable independiente tiende hacia +∞. También puede aplicarse cuando x → −∞ y se tiene que f (x) → 0, y g (x) → 0.

• Segunda Regla:

Esta segunda versión se aplica a indeterminaciones del tipo [∞/∞]:

Teorema I:

Sean f y g funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo abierto I, excepto cuando x = a, (a ∈ I). Si para x 6= a se tiene que:

1.- g 0 (x) 6= 0

2.- limx→a f (x) = ∞

3.- limx→a g (x) = ∞

...