“El libro de la Naturaleza fue escrito por Dios en lenguaje matemático”

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DINAMICA DE SISTEMAS

Por Ing. Francisco Contreras Castro

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“El libro de la Naturaleza fue escrito por Dios en lenguaje matemático” (Galileo)

1 Introducción a la Modelación de Sistemas.        

Podemos considerar al sistema como un conjunto de elementos relacionados entre sí, con un objetivo determinado, es decir con una función definida. El primer problema que se plantea a la hora de definir un sistema es fijar las fronteras del mismo, es decir, decidir qué elementos forman parte de él y cuales le son ajenos. En principio todos aquellos elementos que influyen en el comportamiento del sistema deben permanecer al mismo, sin embargo, una aplicación estricta de ese último enunciado nos llevaría a sistemas de gran complejidad y de difícil manejo. Por ello sólo deben incluirse en el sistema aquellos elementos que tengan una influencia significativa en su comportamiento, lo que implica que la definición del sistema y de su frontera con el exterior está condicionada por el grado de exactitud y de precisión que deseemos alcanzar en nuestro estudio, es decir que la definición del sistema va a depender de la aplicación concreta.

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1.1 Conceptos preliminares.

1.1.1 Sistemas.

Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico. Pueden ser físicos, económicos, biológicos, de crecimiento de la población etc.

Un componente es una unidad particular en su función en un sistema.

Un sistema se llama dinámico si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado; si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso, el sistema se conoce como estático.

La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia y cambia sólo cuando la entrada cambia.

Ejemplo sistema estático:

Movimiento de un timón. La posición del timón depende en cada momento de la posición del volante (entrada).

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Características de los sistemas estáticos.        

• Las salidas varían instantáneamente al variar las entradas.
• Sistemas sin memoria.
• No almacenan energía, ni información.

En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no está en su estado de equilibrio.

Ejemplo sistema dinámico:

Un horno que está a una temperatura dada debido a un sistema de calentamiento eléctrico. La tensión del calefactor es la entrada del sistema y la salida es la temperatura del horno. Si desconectamos el horno, la temperatura desciende lentamente hasta la temperatura ambiente.

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Características de los sistemas dinámicos.

• La variación de las señales de salida, al variar las entradas, se produce de forma progresiva durante un cierto tiempo.
• Sistemas rápidos y sistemas lentos.
• Comportamiento permanente o estático y comportamiento transitorio o dinámico.
• Sistemas con memoria, capaces de almacenar energía o información.

Clasificación de los sistemas.

Sistemas continuos y discretos.

En función de las características de las señales que actúan sobre el sistema haremos la primera clasificación de sistemas: si dichas señales están definidas en todo instante de tiempo se denominarán señales de tiempo continuo y diremos que el sistema es continuo.

Si las señales sólo toman valores en determinados instantes, se denominarán señales de tiempo discreto y el sistema se llamará discreto.

Esta definición presupone que la variable independiente es siempre el tiempo, lo que se cumplen en la gran mayoría de los sistemas físicos habituales en ingeniería pero que deja de ser cierto en muchos de los sistemas discretos en los que la variable independiente es el orden de los distintos datos.

Ejemplos Continuos:

• Si pretendemos estudiar el comportamiento térmico de un sistema de calefacción, las señales involucradas en el mismo: temperatura de la habitación, tensión eléctrica aplicada al radiador, están definidas en todo instante de tiempo, por lo que el sistema es continuo y la variable independiente es el tiempo, puesto que nos interesa conocer la evolución en el tiempo de dichas señales.

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• Si lanzamos al espacio un globo meteorológico para medir la temperatura de las distintas capas de la atmósfera, la variable independiente es la altura puesto que nos interesa conocer la evolución de la temperatura en función de la altura. Como sea cual sea la altura existe una temperatura, esta señal es de tiempo continuo, aunque la variable independiente sea la altura.

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Ejemplos Discretos:

• Un algoritmo que calcula el cuadrado de los elementos de una tabla es un sistema discreto en el que la variable independiente es el orden del dato en la tabla. Obviamente entre el primer y el segundo dato no existe ninguno, exactamente lo mismo que ocurre con los resultados, no existe ninguno intermedio.

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Sistemas muestreados.

Este tipo de sistemas en origen continuos, pero cuyas señales han sido convertidas a tiempo discreto se denominan sistemas muestreados. En ellos la variable independiente de sus señales es el orden, por ser señales discretas, pero a la vez el orden está relacionado con el tiempo, debido al origen continuo de las mismas.

Ejemplo de muestreados:

• Para medir la temperatura, se dispone de un termómetro digital que toma muestras casa 0.1s de la temperatura real. La figura muestra la evolución en el tiempo de dicha temperatura y la secuencia de datos que entra en el dispositivo digital una vez muestreada dicha señal con un periodo de muestreo de T=0.1s.

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Sistemas causales y no causales.

Los sistemas causales son los que responden al principio de causalidad, es decir es necesario que se produzca la causa (la entrada al sistema) para que se genere el efecto (la respuesta). Todos los sistemas físicos en los que la variable independiente sea el tiempo responden a dicho principio puesto que la reacción no se puede anticipar a la causa, por lo que en muchas ocasiones llamaremos a los sistemas no causales como sistemas no realizables físicamente.

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