Estadistica Ejercicio

Tarea Examen 2 tipo A

Fuentes Tapia Ivan Baruch        Ibáñez Cortés Rebeca Michelle Ramos Soto Jonathan

Ejercicio 1

Considere el modelo de regresión:

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + ... + 𝛽𝑝𝑥𝑝 + 𝜖

Y los estimadores obtenidos por mínimos cuadrados escritos en forma matricial

        𝛽 = (𝑋̂        𝑡𝑋)−1𝑦

Usando la matriz proyección H y sus propiedades, indique a qué es igual:

• 𝑒𝑡𝑋, donde 𝑒 = 𝑦 − 𝑦̂ y 𝑦̂ = 𝑋𝛽
• 𝐶𝑜𝑣(𝑒,𝑦)̂

Solución: Con la definición de H del primer inciso sabemos que:

𝑒𝑡𝑋 = (𝑦 − 𝐻𝑦)𝑡𝑋

Como H es simétrica, entonces

= (𝑦𝑡 − 𝑦𝑡𝐻)𝑋 Por lo tanto:

𝑒𝑡𝑋 = 𝑦𝑡(𝐼 − 𝐻)𝑋

Por otro lado, usando la definición de H sabemos que:

𝐶𝑜𝑣(𝑦 − 𝐻𝑦,𝐻𝑦) = 𝐶𝑜𝑣((𝐼 − 𝐻)𝑦,𝐻𝑦)

Por propiedad 2.1 de la covarianza de y :

𝐶𝑜𝑣((𝐼 − 𝐻)𝑦,𝐻𝑦) = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻𝑡

Como H es simétrica:

(𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻𝑡 = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻

Por lo que:

𝐶𝑜𝑣(𝑦 − 𝐻𝑦,𝐻𝑦) = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻

Ejercicio 2

Considere el modelo de regresión siguiente:

        𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2(3|𝑥𝑖| − 2) + 𝜖𝑖        𝑖 = 1,2,3

donde 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −1

• I. Defina la matriz diseño X asociada a este modelos, Calcule 𝑋𝑡𝑋 y su inversa.

Solución:

𝑦1 = 𝛽0 − 2𝛽2 + 𝜖1

𝑦2 = 𝛽0 + 𝛽1 + 𝛽2 + 𝜖2

𝑦3 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 + 𝜖3

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        1        0        -2

## [2,]        1        1        1

## [3,]        1        -1        1

#Matriz Transpuesta (Xt=t(X))

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        1        1        1

## [2,]        0        1        -1

## [3,]        -2        1        1

#Multiplicacion de las matrices (XtX = Xt%*%X)

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        3        0        0

## [2,]        0        2        0

## [3,]        0        0        6

#Inversa del anterior (XtXinv = solve(XtX))

##        [,1] [,2]        [,3]

## [1,] 0.3333333 0.0 0.0000000

## [2,] 0.0000000 0.5 0.0000000

## [3,] 0.0000000 0.0 0.1666667

• II. Dé las expresiónes de los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios de 𝛽0, 𝛽1 y 𝛽2: 𝛽0̂ , 𝛽1̂ y 𝛽2̂ . Deberán ser expresiónes en términos de 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3.

Solución:

De la ecuacion 102 de las notas sabemos que 𝛽 = (𝑋̂ 𝑡𝑋)−1𝑋𝑡𝑦, entonces con los resultados del inciso anterior tenemos lo siguiente:

##        [,1]        [,2]        [,3]

## [1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333

## [2,] 0.0000000 0.5000000 -0.5000000

## [3,] -0.3333333 0.1666667 0.1666667

Por lo que la expresión de 𝛽𝑖̂

𝛽0̂ = 𝑦31 + 𝑦32 + 𝑦33 = 𝑦

𝛽1̂ = 𝑦2 − 𝑦3

𝛽2̂ = [pic 1]

• III. Muestre que los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios del modelo reducido cuando se supone 𝛽2 = 0 no se alteran, es decir, que 𝛽[pic 2]̂ ̂ ̂ ̂ , donde [pic 3]̂ ̂ son los estimadores por mínimos cuadrados del modelo

Solución:

        𝑦𝑖        [pic 4]+ 𝜖∗𝑖 𝑖 = 1,2,3

        𝛽0∗̂ = 𝑌 −̄        𝛽1̂ 𝑋̄

Calculamos 𝑋̄:

        𝑋 =̄        [pic 5] = 0

Por lo que:

𝛽[pic 6]̂𝑌̄

Por otro lado:

        [pic 7] 𝑌 ) = [0(𝑦̄        1 − 𝑌 ) + 1(𝑦̄        2 − 𝑦32 − (𝑦1 +3 𝑦3)) − 1(𝑦3 − 𝑦33 − (𝑦1 +3 𝑦2))] = 𝑦2 − 𝑦3

[pic 8]

[pic 9]̂

Por lo tanto:

        [pic 10]̂        ̂

        [pic 11]̂        ̂

Ejercicio 3

La Compañía Kenton Food desea comparar 4 diferentes diseños de empaque de un nuevo cereal. Veinte tiendas, con aproximadamente igual volumen de ventas y perfil de clientes, fueron seleccionadas como unidades experimentales. A cada una de las tiendas se le asignó uno de los empaques de forma aleatoria, de manera que cada empaque fuera asignado a 5 tiendas distintas. Las ventas, en número de casos, fueron observadasdurante un período de estudio de 2 semanas:

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