Explicación. Integración por fracciones parciales

Explicación del tema 5

Matemáticas II

Tema 5. Integración por fracciones parciales

5.1 Integración por fracciones parciales

La integración de fracciones parciales se usa cuando se está integrando a un cociente de polinomios del tipo

, en donde el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador y además el polinomio del denominador se puede transformar en un producto de factores. La factorización del denominador nos lleva a cuatro diferentes casos, como se muestra a continuación.

También se pueden presentar combinaciones de cada uno de estos casos.

Ejemplos:

Resuelve cada una de las siguientes integrales indefinidas. Aplica el método de fracciones parciales apropiado.

1.

Solución



2.

Solución

3.

Solución

Explicación del tema 6

Matemáticas II Tema 6. Integral definida

6.1 Obtención de la integral definida y áreas aplicando sumas de Riemann





Observa que la altura de cada rectángulo, es la función evaluada en cada valor de x. Es decir, , como se muestra en la siguiente tabla.

Podemos entonces calcular dos sumas, una por la derecha, cuyos valores terminales a la derecha de cada



intervalo se puede expresar como con  .

Y la otra suma sería por la izquierda, cuyos valores terminales a la izquierda de cada intervalo, se puede

expresar como con  .

Además recordemos que deseamos calcular el área bajo la curva, entonces como ya se indicó en la tabla, el área = (altura) x (base) .

Aplicando notación sigma.



Concluimos que el área bajo la curva considerando 4 rectángulos de igual longitud, comprendida en el intervalo [0,2], se encuentran entre los valores de las dos sumas obtenidas, es decir,

Si quisiéramos ser más precisos en el valor del área basta con considerar más rectángulos. Es decir, debemos aumentar el valor de  . Esto es, hasta que ya no pudiéramos distinguir la separación de cada rectángulo.

En esto consiste el método de exhaución y es esencialmente un paso al límite. De acuerdo a este procedimiento podemos concluir los siguientes conceptos:

Área debajo de la gráfica de una función



6.2 Teorema fundamental del cálculo

En el subtema anterior se utilizaron las sumas de Riemann para encontrar el valor de una integral definida, la cual representó al área bajo la curva. Este es un proceso tedioso y en la mayoría de los casos nada práctico. Los resultados que se obtuvieron fueron sólo aproximaciones de las áreas. Por fortuna, existe una fórmula mucho mejor y más sencilla para encontrar el valor exacto de una integral definida a través del teorema fundamental del cálculo.

Teorema fundamental del cálculo

Ejemplo 1:

En el subtema anterior solucionamos el problema de calcular el área delimitada por la función



en el intervalo  , aplicando sumas de Riemann.

Ahora obtendremos la solución a este problema aplicando el teorema fundamental del cálculo. Entonces, aplicando la definición, tenemos que debemos calcular

El valor exacto del área, aplicando el teorema fundamental del cálculo es comparamos con las aproximaciones obtenidas usando sumas de Riemann

. Si lo

Observa que el valor exacto se encuentra dentro de

...