COMO SE DA LA GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Unidad 1: Fase 2 - Rectas y planos en el espacio

La geometría tridimensional se basa en formas algebraicas que involucran, directa o indirectamente, tres variables llamadas por convención x, y y z. Las figuras que describen las ecuaciones algebraicas se ubican en el espacio tridimensional, que representa la idea inmediata de tridimensionalidad a partir de plano cartesiano.

[pic 1]

El plano xy  es simplemente el plano cartesiano, que se observa acostado. El eje z sobre sale perpendicularmente de dicho plano y ofrece la idea de profundidad. Al graficar una figura tridimensional, se encuentran puntos en el espacio con coordenadas de tres componentes P (x, y, z). Lo ideal es ubicar al punto p (x, y) sobre el plano xy y luego su profundidad z correspondiente. 

Existen dos primeras formas de geometría en el espacio; las rectas y los planos. Las rectas y los planos son figuras tridimensionales lineales, pues las variables 

x, y y z no se elevan a ningún exponente sino 1. El aspecto de estas figuras nunca será curvo. 

RECTAS

Las rectas en el espacio se comportan igual que cualquier otra recta; es una sucesión infinita y consecutiva de puntos. Pero ahora, los puntos son tridimensionales, así que las rectas pueden la dirección z relacionada con la profundidad. Para encontrar la ecuación de una recta en el espacio, se necesitan dos puntos o bien un punto y un vector que se sepa que es paralelo a la recta en cuestión. 

Se tiene lo siguiente:

P (xo, yo, zo)

 Q (x, y, z)

Se desea encontrar a la recta que contiene a los dos puntos anteriores. Para ello es necesario un vector paralelo a la recta. Todo vector es paralelo a sí mismo, de hecho, un vector es paralelo a ello y es múltiplo escalar del primero. Entonces, el vector que une a ambos puntos es paralelo al vector de la recta, pues son lo mismo. Para obtener el vector paralelo, se restan las componentes correspondientes de los puntos:

PQ = (x - xo)i + (y - yo) j + (z - zo) k

Donde las componentes i, j, k significan que el resultado es un vector. 

i corresponde al eje x

j corresponde al eje y 

k corresponde al eje z

Una vez encontrado el vector paralelo de la recta, se utiliza la siguiente igualdad:

PQ = tV

Es decir, el vector entre los puntos P y Q es igual al vector paralelo V = ai + bj + ck multiplicado por un parámetro t. V puede ser cualquier vector paralelo al vector de la recta. Entonces, siguiendo la igualdad:

(x - xo)i + (y - yo) j + (z - zo) k = t (ai + bj + ck)

(x - xo)i + (y - yo) j + (z - zo) k = (ta)i + (tb)j + (tc)k

Por correspondencia se dice que:

x - xo = at

y - yo = bt

z - zo = ct

Si se despejan x, y y z:

x = xo + at

y = yo + bt

z = zo + ct

Las tres ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta, pues las variables principales dependen del parámetro t. La recta pasa por el punto P y es paralela al vector V. El punto Q fue solo necesario para encontrar V.

[pic 2]

Si se despeja el parámetro t en las tres ecuaciones paramétricas y se igualan los resultados:

(x - xo)/a = (y - yo)/b = (z - zo)/c

Todo el procedimiento anterior es genérico y aplica para cualquier punto o par de ellos. Para demostrarlo, se resolverá el ejercicio siguiente. Se tienen los puntos P (3,1,4) y el punto Q (1,2,2). El primer paso es hallar el vector que une a los dos puntos y que a su vez es paralelo a la recta:

PQ = (3-1) i + (1-2)j + (4-2)k

PQ = 2i - j + 2k

Considerando que el punto inicial es Q, con coordenadas xo, yo y zo, se escriben las ecuaciones paramétricas;

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 2 + 2t

Despejando el parámetro t e igualando resultados se encuentran las ecuaciones simétricas:

PLANOS

Los planos superficies rectas en el espacio. Poseen ecuaciones que involucran generalmente a las tres variables x, y y z. La ecuación de los planos se encuentra siguiendo también un método específico.  

[pic 3]

Para encontrar la ecuación de un plano en el espacio se necesitan dos vectores que estén en el plano o bien tres puntos que estén en el plano. Los tres puntos sirven para encontrar dos vectores.  La idea general es encontrar un vector perpendicular al plano. Se tiene un punto P(xo , yo , zo) y Q(x, y, z). Ambos puntos pertenecen a un plano cualquiera. También se conoce un vector perpendicular a dicho plano:  n = ai + bj + ck. La ecuación del plano se obtiene por la siguiente operación:

(PQ)(n) = 0

La operación anterior es un axioma de perpendicularidad. Un vector es perpendicular a otro si el producto punto entre ellos es igual a 0. Siguiendo la operación, se encuentra la ecuación del plano que se estudia:

[(x - xo)i + (y - yo)j + (z - zo)k] [ai + bj + ck] = 0

a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0

La anterior es la ecuación general de un plano que contiene al punto P y es perpendicular al vector n. Para encontrar la ecuación reducida:

ax - axo + by - byo + cz - czo = 0

ax + by + cz = axo + byo + czo

Como axo, byo y czo son constantes:

ax + by + cz = d

El procedimiento anterior es aplicable para cualquier plano. Por ejemplo, el plano que contiene al punto P(1,1,1) y  es perpendicular al vector  n = -2i + j - k:

-2 (x - 1) + y - 1 - (z - 1) = 0

-2x + y - z = -2 +1 - 1

-2x + y - z = -2

2x -y + z = 2

[pic 4]

Las aplicaciones de las rectas en el espacio tienen que ver con el comportamiento lineal de fenómenos que dependen de dos variables. Aunque es raro que en la naturaleza los eventos ocurran de forma lineal, es posible encontrar caso así. 

Los planos tienen una aplicación un poco más limitada. En anatomía humana, el cuerpo se separa por planos y el movimiento o direcciones motrices de varios miembros puede describirse sobre planos.