Matemáticas Avanzadas 1 Vectores y geometría del espacio

Ejercicios:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Determina la distancia entre los puntos A y B de cada uno de los incisos

1. A(-2,0,-1) y B(-3,2,3)
2. A(4,1,-1) y B(-1,2,7)
3. A(-3,0,2) y B(-2,1,4)
4. A(0,-3,-5) y B(-2,3,-1)

1. Demuestre matemáticamente que la distancia entre el punto A y B es igual que la distancia entre el punto B y A. ¿Por qué? Justifica tu respuesta.

A(0,-2,-1) y B(0,1,4)

1. Realiza las operaciones indicadas para cada uno de los siguientes vectores:
   
   A(-2,1,-1); B(2,-1,0); C(-1,3,-5); D(0,1,-3)

1. A-B
2. B-C
3. A+C
4. C+D
5. D+B
6. C-2A
7. 2 B-4 D
8. [pic 2]
9. [pic 3]

1. Realiza las operaciones indicadas y representa el resultado utilizando los vectores unitarios canónicos. A(1,2,0); B(-1,2,5); C(-2,-1,4)

1. [pic 4]
2. [pic 5]
3. [pic 6]

1. Considera los siguientes puntos P(2,-1,4); Q(-1,0,2) . Encuentra el valor del punto R.

Para que se cumplan las siguientes condiciones:

1.  [pic 7]
2.  [pic 8]

1. Determina el ángulo entre los vectores de cada uno de los siguientes vectores

1. [pic 9]
2. [pic 10]
3. [pic 11]

1. Determina la proyección de:

1.  [pic 12] sobre [pic 13]
2. [pic 14] sobre [pic 15]
3. [pic 16] sobre [pic 17]

1. Determina el producto cruz que se indica para cada par de vectores:

1. [pic 18]y [pic 19]

• [pic 20] 
• [pic 21]

1.  [pic 22] y [pic 23]

•  [pic 24]
•  [pic 25]

1.  [pic 26] y [pic 27]

•  [pic 28]

Procedimientos:

1.

a)

La distancia entre los puntos [pic 29] y [pic 30] se calcula mediante la diferencia vectorial:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 34]:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

La distancia entre los puntos [pic 38] y [pic 39] es igual a:

 [pic 40]

b)

La distancia entre los puntos [pic 41] y [pic 42] se calcula mediante la diferencia vectorial:

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 46]:

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

La distancia entre los puntos [pic 50] y [pic 51] es igual a:

[pic 52]

c)

La distancia entre los puntos [pic 53] y [pic 54] se calcula mediante la diferencia vectorial:

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 58]:

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

La distancia entre los puntos [pic 62] y [pic 63] es igual a:
[pic 64]

d)

La distancia entre los puntos [pic 65] y [pic 66] se calcula mediante la diferencia vectorial:

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 70]:

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

La distancia entre los puntos [pic 74] y [pic 75] es igual a:
[pic 76]

2.

Calculando la distancia entre el punto [pic 77] y [pic 78]:

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 82]:

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

La distancia entre los puntos [pic 86] y [pic 87] es igual a:
[pic 88]

Calculando la distancia entre el punto [pic 89] y [pic 90]:

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

Ahora procedemos a calcular el módulo del vector [pic 94]:

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

La distancia entre los puntos [pic 98] y [pic 99] es igual a:
[pic 100] y por consiguiente la distancia entre [pic 101] y [pic 102] es la misma que la distancia entre [pic 103] y [pic 104].

3.

a)

Para realizar una resta de vectores en tres dimensiones se deben restar individualmente cada una de las componentes.

Restando el componente [pic 105] del componente [pic 106] se tiene:

[pic 107]

Restando el componente [pic 108] del componente [pic 109] se tiene:

[pic 110]

Restando el componente [pic 111] del componente [pic 112] se tiene:

[pic 113]

Por tanto, el resultado de la resta de vectores [pic 114] está dado por:

[pic 115]

b)

Para realizar una resta de vectores en tres dimensiones se deben restar individualmente cada una de las componentes.

Restando el componente [pic 116] del componente [pic 117] se tiene:

[pic 118]

Restando el componente [pic 119] del componente [pic 120] se tiene:

[pic 121]

Restando el componente [pic 122] del componente [pic 123] se tiene:

[pic 124]

Por tanto, el resultado de la resta de vectores [pic 125] está dado por:

[pic 126]

c)

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

d)

[pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

e)

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

f)

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

g)

[pic 139]

[pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

h)

[pic 143]

[pic 144]

[pic 145]

[pic 146]

...