Investigacion De Operaciones 2

CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos de un experimento en el que los resultados posibles de ensayo a ensayo dependen solamente del resultado del ensayo anterior.

Conceptos básicos

Matriz de transición T. Es una matriz cuadrada que indica las probabilidades de transición de un estado a otro, esto es, de un periodo de observación al siguiente. Los elementos de una matriz de transición son valores de probabilidad que satisfacen las siguientes propiedades: La matriz de transición T da las probabilidades desde el inicio hasta el final del primer periodo de observación o hasta el final de la primera unidad de tiempo.

1. La suma de las probabilidades en cada fila, debe ser igual a 1.

2. Todos los elementos de la matriz de transición son positivos porque son valores de probabilidad.

Vector de estado inicial, Vo. Es un vector fila o matriz fila con las probabilidades antes de iniciar los ensayos de un experimento o antes de iniciar las observaciones de un fenómeno.

Vector de estado, Vn. Es un vector fila que da las probabilidades del sistema después de ¨n¨ observaciones.

V1 = VoT

V2 = V1 T = (VoT) T = VoT2

V3 = V2 T = (VoT2 )T = VoT3

. . . .

. . . .

Vn = VoTn

Vector de estado estable, o matriz estacionaria Q. Es un vector fila con las probabilidades del sistema en el largo plazo. Cuando el sistema alcanza el estado estable, las probabilidades permanecen constantes para ensayos sucesivos. La matriz estacionaria satisface la propiedad QT = Q

El Vector Q o matriz estacionaria Q es una matriz fila con la misma cantidad de columnas que la matriz T.

Ejemplo. Un departamento está dividido en tres regiones demográficas. Cada año, el 16% de los residentes en la región 1 se mueve a la región 2 y el 10% se mueve a la región 3, los demás permanecen en la región 1. De los residentes en la región 2, el 15% se traslada a la región 1 y el 12% a la región 3. De los residentes en la región 3 el 8% se cambia a la región 1 y el 14% se cambia a la región 2.

a) Determine la matriz de transición T.

b) Calcule la probabilidad de que un residente en la región 1 este año, sea residente de esa región el próximo año, y después de dos años.

c) Si este año el 35% de la población del departamento vive en la región 1, 40% vive en la región 2 y el resto vive en la región 3, determine el porcentaje de los habitantes del departamento que serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 después de tres años.

d) Si la población del departamento es de 120 000 habitantes, ¿cuántos estarán viviendo en cada una de las regiones después de tres años?

e) De los 120 000 habitantes del departamento, ¿cuántos serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 en el largo plazo?

a) R1 R2 R3

R1 0.74 0.16 0.10

T = R2 0.15 0.73 0.12

R3 0.08 0.14 0.78

Interpretación de las probabilidades de la matriz T

0.74 es la probabilidad de que un residente de R1 ahora, siga siendo residente de R1 al final del año.

0.12 es la probabilidad de que un resiente de R2 hoy, esté residiendo en R3 después de un año.

0.08 es la probabilidad de que un residente de R3 ahora , esté residiendo en R1 al final del año.

0.78 es la probabilidad de que un residente de R3 ahora, siga siendo residente de R3 al inicio del próximo año.

Los valores de probabilidad en la diagonal principal determinan los porcentajes

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