La Representacion

Representaciones de grupos de objetos

por los niños pequeños: la relación entre

abstracción y representación

Yasuhiko Kato, Chugoku Junior College, Okayama, Japan

Constance Kamii, University of Alabama at Birmingham

Kyoko Ozaki, Tomiyama Child Care Center, Okayama, Japan

Mariko Nagahiro, Chugoku Junior College, Okayama, Japan

Se entrevistó individualmente a sesenta niños japoneses cuyas edades fluctuaban entre los 3 años 4 meses y los 7 años 5 meses a fin de investigar la relación entre sus niveles de abstracción (evaluada a través de una tarea que involucraba conservación de número) y sus niveles de representación, (evaluada mediante una actividad en la que se les solicitaba representar gráficamente pequeños conjuntos de objetos). La investigación concluyó que la abstracción y la representación están estrechamente relacionadas, y que los niños pueden llevar a cabo representaciones al nivel o por debajo de su posibilidad de abstracción, pero no por encima de este nivel. La implicación educativa es que los educadores necesitan enfocarse mayormente sobre las relaciones mentales que los niños llevan a cabo (es decir, su abstracción) ya que el significado que los niños pueden dar a los símbolos convencionales depende de su nivel de abstracción.

Palabras clave: Abstracción; Desarrollo cognitivo, Constructivismo; Niñez temprana; Preescolar/primaria; Piaget; Representación

Usualmente, el verbo representar se emplea en matemáticas de la siguiente manera: "En las matemáticas de la escuela elemental hay dos tipos de símbolos escritos: aquellos que representan cantidades (por ejemplo 2, 3, 1/2, 1.6) y aquellos que representan acciones u operaciones sobre cantidades (por ejemplo +, -)" (Hiebert, 1988, p. 336). Del mismo modo, los bloques base 10 se utilizan para representar el sistema base 10, y Furth (1981) nos da otro ejemplo "La letra X representa a aquellos niños de la ciudad que están entre los 6 y los 10 años de edad". Sin embargo, para Piaget (1945/1962) la representación no es lo que los símbolos hacen. Las personas representan, los símbolos no. Un niño que ve el numeral 8 puede representarse mentalmente la idea de "ocho" si ya ha construido tal idea. Un niño que aún no la ha construido no puede representársela cuando se le muestra dicho numeral.

Los niños también representan haciendo dibujos o escribiendo numerales. Para estudiar cómo representan gráficamente pequeños grupos de objetos, Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983) entrevistaron individualmente a niños de 4, 5 y 6 años de edad, en Ginebra, Suiza, en un jardín de niños y un centro de cuidado infantil en los que no se daba instrucción académica formal. Eran un total de 45 niños, 15 en cada grupo de edad. Durante las entrevistas se les presentaban por lo menos ocho objetos idénticos, tales como lápices, pelotitas de goma o cochecitos de juguete. Una sesión típica consistía en proporcionar lápiz y papel al niño, mostrarle, por ejemplo, tres pelotitas de goma y pedirle "¿podrías anotar en la hoja lo que hay en la mesa?" . Para no sugerir cuantificación, los entrevistadores evitaban emplear términos como "cuántos" y "número". Esta primera fase de la sesión involucraba varias tareas similares basadas en diferentes cantidades de objetos, tales como dos pelotas o cinco casas de juguete.

En la segunda fase de las entrevistas, el entrevistador no mostraba los objetos a los niños, sino que les hacía preguntas como "¿podrías escribir 3 (enseguida 5, y así con otros números)?" El propósito de ésta tarea era descubrir si los niños eran capaces de escribir los numerales en ausencia de los objetos cuando explícitamente se les pedía hacerlo.

Con base en los resultados de su estudio, Sinclair et al. categorizaron seis tipos de notaciones, como se muestra en la figura 1 y se explica posteriormente. Los números que preceden a las explicaciones corresponden a los números en la columna etiquetada en la figura como tipo de notación.

1. Representación global de la cantidad. Los ejemplos de este tipo incluyen trazos múltiples, por ejemplo |||| para tres pelotas y ||||| para dos pelotas. Puede decirse que los niños que realizan este tipo de trazos están representando una idea prenumérica, vagamente cuantitativa, de "muchos", "un montón" o "más de uno". En este ejemplo, el niño dibujó 4 trazos para cinco pelotas y 5 trazos para dos pelotas, aunque también hizo 5 trazos para cinco casas.

2. Representación del objeto-clase. Estas notaciones revelan un enfoque sobre los aspectos cualitativos más que cuantitativos de cada conjunto de objetos. El ejemplo muestra una escritura particular de la letra B para tres pelotas y para dos pelotas, y el dibujo de una casa para cinco casas.

TIPO DE

NOTACION:

tres pelotas dos pelotas cinco casas

Figura 1. Tipos de notaciones reportadas por Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983). Nota: Tomado de A. Sinclair, F. Siegrist y H. Sinclair, "Young Children's ideas about the written number system," in D. Rogers & J.A. Sloboda (Eds.) The adquisition of symbolic skills ( p.540). New York: Plenum. Copyright 1983 by Plenum. Reimpreso con autorización.

3. Correspondencia uno a uno con símbolos (símbolos en el sentido piagetiano). La figura muestra tres ejemplos de este tipo de notación. Algunos niños inventaron símbolos para representar la cantidad correcta, y otros utilizaron tres letras convencionales como símbolos para representar el número de objetos (Por ejemplo, "TIL" y "AE1" [las cuales no son palabras de tres letras en francés] para representar tres pelotas). Este es el primer tipo de notación en el cual hacen su aparición las ideas numéricas precisas.

4. Correspondencia uno a uno con numerales. Como puede apreciarse en la figura, el primer ejemplo de correspondencia uno a uno con numerales para tres pelotas es "123", y el segundo ejemplo es "333". Puede decirse que los niños que escribieron esos numerales sintieron la necesidad de representar cada objeto, o bien, su propia acción de contarlos.

5. Sólo el valor cardinal. Finalmente vemos el numeral 3 para tres pelotas y 5 para cinco casas (con ortografía inventada, que refleja la forma como se pronuncian en francés los números tres, dos y cinco: trois, deux y cinq).

6. Valor cardinal y clase de objeto. Los ejemplos de este tipo son "4 lápices y "5 casas" ("Crèion" y "mèzone" presentan ortografía inventada de las palabras crayons y maisons. Probablemente a los niños que dieron estas repuestas se les mostraron cuatro lápices en lugar de 2 pelotas). Estas representaciones reflejan un enfoque simultaneo sobre los aspectos cuantitativos y cualitativos de cada conjunto.

Según los resultados del estudio de Sinclair et al. la representación Tipo 1 (global) se encontró principalmente en los niños de cuatro años y los Tipos 5 y 6 (valor cardinal con o sin clase de objetos) en los de 5 y 6 años. Las representaciones Tipo 3 y 4 (correspondencia uno a uno) se observaron con mayor frecuencia en la mitad del rango de edades. Cabe anotar que el corte en los niveles descritos por Sinclair et al. no fue tan claro, ya que aproximadamente la mitad de los niños del estudio utilizaron representaciones de más de un tipo.

No obstante, un hallazgo significativo de Sinclair et al. fue que muchos niños que emplearon solamente representaciones de las tipos 1, 2 y 3 fueron perfectamente capaces de escribir los numerales 3, 5 y otros más cuando se les pedía "¿Puedes escribir el '3' (luego el 5, y así sucesivamente)?" La siguiente pregunta que surge es: ¿Por qué los niños no escriben los numerales que saben cuando se les pide representar conjuntos de objetos?

Desde nuestro punto de vista, la respuesta a esta pregunta es que, como señala Piaget (1977), cuando los niños representan la realidad, no representan la realidad en sí - sino lo que piensan acerca de esa realidad. Cuando se les mostraban, por ejemplo, las tres pelotas, algunos niños del estudio - especialmente los más pequeños- pensaban en los objetos como en "un montón" y, por lo tanto, daban respuestas del Tipo 1. Otros pensaban en las "pelotas" y daban respuestas del tipo 2 como la que involucra la letra B (de "balle"). Estos niños pensaban acerca de los objetos ya sea de una manera incipientemente cuantitativa, o bien, desde un punto de vista cualitativo. A los 5 años, cuando habían construido la idea de número, tendían a realizar representaciones de los Tipos 3 y 4. Estos niños pensaban acerca de los objetos con precisión numérica pero aún consideraban cada objeto individualmente. El hecho de que algunos llevaran a cabo representaciones del Tipo 4 es especialmente significativo, ya que muestra que, incluso cuando han adquirido el conocimiento social de los numerales escritos, suelen emplear este conocimiento en su respectivo nivel de abstracción. Nadie enseña a los niños a escribir 123 o 333 para representar tres objetos, y sin embargo, las representaciones de los tipos 3 y 4 revelan que los pequeños enfocan su atención en cada objeto más que en la cantidad total.

La mayoría de los niños más grandes reflejaron su capacidad para pensar en los objetos como cantidad total, al realizar representaciones del Tipo 5. En esta etapa les parece mejor escribir un numeral y no tres símbolos o signos. Las representaciones del Tipo 6 reflejan la habilidad de los niños para pensar al mismo

...