Ley De Darcy
serpetriz30 de Octubre de 2012
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Dic-2009
Flujo en medios porosos: Ley de Darcy
Experiencia de Darcy
En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del
estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que también debía diseñar filtros de
arena para purificar el agua, así que se interesó por los factores que influían en el flujo del
agua a través de los materiales arenosos, y presentó el resultado de sus trabajos como un
apéndice a su informe de la red de distribución. Ese pequeño apéndice ha sido la base de
todos los estudios físico- matemáticos posteriores sobre el flujo del agua subterránea.
En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utilizó Darcy, y
que se denominan permeámetros de carga constante
(Figura 1)
1
Figura 1.- Permeámetro de carga constante.
Q
= Caudal
h
= Diferencia de Potencial entre A y B
l
= Distancia entre A y B
h
=
Gradiente hidráulico
l
Básicamente un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace
circular agua conectando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el
otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento
mantiene el caudal también constante. Finalmente, se mide la altura de la columna de agua
en varios puntos (como mínimo en dos, como en la Figura 1).
Darcy encontró que
el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la
sección y al gradiente hidráulico
Gradiente
es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relación con la
distancia entre esos dos puntos. Si la variable considerada fuera la altitud de cada punto, el
gradiente sería la pendiente entre los dos puntos considerados.
Si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de
8ºC, diremos que hay entre ellos un gradiente térmico de 4ºC/metro. Cuanto mayor sea ese
gradiente térmico, mayor será el flujo de calorías de un punto a otro. Análogamente la
diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos se puede expresar como un gradiente que
produce el flujo eléctrico entre esos puntos, etc..
En laboratorio, el permeámetro se sitúa verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuación
1
del aire contenido inicialmente en el material poroso
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Pág.
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España)
http://web.usal.es/javisan/hidro
Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depósito elevado, los niveles del
agua en los tubos varían. Podemos probar también con permeámetros de distintos diámetros
y midiendo la altura de la columna de agua en puntos más o menos próximos. Pues bien:
cambiando todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:
h
Q
=
K
•
Sección
•
(1)
l
=constante. Ver Figura 1 para el significado de las otras variables)
(
K
Si utilizamos otra arena (más gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de
nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de
proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era
propia y característica de cada arena. Esta constante se llamó
permeabilidad
(
K
) aunque
actualmente se denomina
conductividad hidráulica
.
2
está en L
h
e
l
son longitudes, se comprueba que
Como el caudal
Q
/T, la sección es L
, e
3
2
de la permeabilidad (
las
unidades
K
) son las de una velocidad (L/T).
Actualmente, la Ley de Darcy se expresa de esta forma:
dh
q
= –
K
(2)
dl
=
/sección (es decir: caudal que circula por m
de sección)
donde:
q
Q
2
K
= Conductividad Hidráulica
dh/dl
= gradiente hidráulico expresado en incrementos infinitesimales
(el signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya dirección
es hacia los
h
decrecientes; es decir, que
h
o
dh
es negativo y, por tanto, el
caudal será positivo)
Velocidad real y velocidad de Darcy
Sabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que:
Caudal = Sección x Velocidad (3)
L
x L/T
3
/T = L
2
Si aplicamos esta consideración al cilindro del permeámetro de Darcy, y calculamos la
velocidad a partir del caudal y de la sección, que son conocidos, obtendremos una velocidad
falsa, puesto que el agua no circula por toda la sección del permeámetro, sino solamente por
una pequeña parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevaría el agua si circulara por toda
la sección del medio poroso) se denomina “velocidad Darcy” o “velocidad de flujo”:
Velocidad Darcy = Caudal / Sección total
(4)
Existe cierta confusión en las denominaciones de
K
y de
k
(que aparece en la página siguiente): aquí
2
y
utilizamos
K
=
conductividad hidráulica
k=permeabilidad intrínseca
. Pero en el uso común a veces nos referimos a la
como
K
permeabilid ad,
a ella nos referimos con las expresiones “formación permeable”, “medimos con el
permeámetro”; y la
k
a veces aparece como
permeabilidad
(sin el adjetivo “intrínseca”)
2
Pág.
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España)
http://web.usal.es/javisan/hidro
La parte de la sección total por la que puede circular el agua
es la porosidad eficaz
; si una arena tiene una porosidad del
3
10% (0,10), el agua estaría circulando por el 10% de la sección
total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una
sección 10 veces menor, su velocidad será 10 veces mayor. Por
tanto, se cumplirá que:
(5)
Velocidad lineal media = Velocidad Darcy / m
e
(
m
= porosidad eficaz)
e
Denominamos
velocidad lineal media
, y no
velocidad real,
al resultado
Figura 2.- La parte de la sección
de
la expresión (5) debido a lo siguiente: esa fórmula refleja correctamente
utilizable por el flujo es la
la velocidad real de las partículas en una sección cualquiera del medio
porosidad eficaz
poroso, por ejemplo, en la mostrada en la figura 2. Pero no es exacta para
calcular con ella el tiempo de recorrido entre dos puntos.
lleno de arena por el que se hace circular agua.
En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L
1
Calculamos la velocidad lineal media mediante las expresiones (4)
y (5), y con esa velocidad evaluamos el tiempo de recorrido a lo
largo del tubo de dicha figura (tiempo=L
/velocidad).
1
Si después medimos experimentalmente ese tiempo de
recorrido añadiendo un colorante al agua, obtendríamos un tiempo
Figura 3.- Tortuosidad del recorrido
ligeramente superior, ya que la distancia recorrida ha sido mayor: no
L1 sino L2 (que es desconocida).
Si llamamos
velocidad real
a la registrada a lo largo de un recorrido a través de un medio poroso, sería
igual a:
Velocidad Real = Velocidad lineal media • coeficiente
Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y a proximadamente puede ser de 1,0 a 1,2
en arenas.
En la práctica, habitualmente se utiliza la expresión (5) diciendo que hemos calculado la “velocidad real”,
pero debemos ser conscientes del error que se comente al despreciar la tortuosidad del recorrido.
Flujo a través de varias capas: Permeabilidad equivalente
En un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a través de varias capas, y
deseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos más
sencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujo
perpendicular a las capas.
Permeabilidad (o conductividad hidráulica)
equivalente
es un valor promedio
...