MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS

DIFERENCIACIÓN Y APLICACIONES

Límites

Dos conceptos muy importantes en la teoría del cálculo diferencial e integral son el límite de una función y la continuidad.

Límites de las funciones

En el cálculo a menudo se desea conocer el valor límite de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un número específico. Este valor límite, cuando existe, recibe el nombre de límite. La siguiente notación sirve para expresar los valores límites de una función:

lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗

La ecuación anterior se lee “el límite de f(x), a medida que x se aproxima al valor a, es igual a L”. Cuando se investiga un límite, en realidad se está preguntando si f(x) se acerca a un valor específico L a medida de x se aproxima más y más hacia a.

Se dispone de varios procedimientos para determinar el límite de una función. La tentación nos lleva a sustituir únicamente el valor de x=a en f y a determinar f(a). En verdad se trata de una forma valida para determinar el límite de muchas funciones, pero no de todas.

Un método que puede aplicarse cosiste en sustituir los valores de la variable independiente en la función, en tanto se observa en comportamiento de f(x) a medida que el valor de x va aproximándose más y más hacia a. Un aspecto importante de ese procedimiento es que el valor de la función se observa conforme el valor de a se aproxima desde ambos lados de a. La notación lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 representa el límite de f(x) al aproximarse x hacia a desde la izquierda (límite por La izquierda) o desde abajo. La notación lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗 representa el límite de f(x) cuando x se aproxima hacia a desde la derecha (límite por la derecha) o desde arriba. Si el valor de la función se aproxima hacia el mismo número L conforme x se acerca hacia a desde ambas direcciones, entonces el límite es igual a L. Esto se expresa con mayor precisión como sigue:

Prueba de la existencia de un límite

〖Si lim┬(x→a^- )〗⁡〖f(x)=L y lim┬(x→a^+ )⁡f(x) 〗

〖 Entonces lim┬(x→a)〗⁡〖f(x)〗

Si los valores límite de f(x) son diferentes cuando x se aproxima hacia a desde ambas direcciones, entonces la función no se aproxima a un límite conforme x se aproxima hacia a. Los siguientes ejemplos muestran claramente esto.

Ejemplo 1

Para demostrar que lim┬(x→2)⁡〖x^3 〗 existe, construyamos una tabla de valores con valores de x cercanos 2 por la izquierda y por la derecha:

Aproximación de x=2 desde la izquierda

x 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

f(x)=x^3 6.858 7.415 7.881 7.94 7.988

Aproximación de x=2 desde la derecha

x 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

f(x)=x^3 9.261 8.615 8.121 8.060 8.012

Adviértase que el valor de x=2 ha sido aproximado desde la izquierda y la derecha. Y desde una y otra dirección, f(x) se acerca al mismo valor, 8. Puesto que

Puesto que lim┬(x→2^- )⁡〖x^3 〗=8 y lim┬(x→2^+ )⁡〖x^3 〗=8

Entonces lim┬(x→2)⁡〖x^3=8〗

Observe que este límite podría haberse determinado con solo sustituir x = 2 en 〖f(x)=x〗^3

Ejemplo

Para la función:

f(x)={■(2x&cuando x≪4@&@ 2x+3&cuando x>4)┤

Determina si existe lim┬(x→4)⁡〖f(x)〗

Solución:

Se elabora una tabla con los valores de f(x) determinados a medida que X se aproxima al valor de 4 desde la izquierda y la derecha

Aproximación de x=4 desde la izquierda

x 3.5 3.8 3.9 35 3.99

f(x)=2x 7 7.6 7.8 7.9 7.98

Aproximación de x=4 desde la derecha

x 4.5 4.3 4.1 4.05 4.01

f(x)=2x+3 12 11.6 11.2 11.1 11.02

Conforme x se aproxima al valor 4 desde la izquierda, f(x) se acerca al valor de 8, o

lim┬(x→4^- )⁡〖f(x)〗=8

Cuando x se aproxima a 4 desde la derecha, f(x) se acerca al valor de 11, es decir

lim┬(x→4^+ )⁡〖f(x)〗=11

Puesto que

lim┬(x→4^- )⁡〖f(x)〗≠lim┬(x→4^+ )⁡〖f(x)〗

Se tiene que lim┬(x→4)⁡〖f(x)〗 no existe

LA DERIVADA

LA DERIVADA (concepto fundamental)

Razón de cambio instantánea

Hay que trazar una distinción entre los conceptos de razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. Una situación donde la distancia recorrida d se describe en función del tiempo t mediante la función

d= f(t) = 8t2 + 8t, donde 0 ≤ t ≤ 5

La velocidad promedio en la segunda hora es que a medida que el intervalo se hace más corto, la velocidad va acercándose a un valor límite.

Representación geométrica de la razón de cambio instantánea

La razón de cambio instantánea de una función continua puede representarse geométricamente mediante la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto de interés.

La línea tangente en A es la posición límite de la línea secante AB a medida que el punto B se va aproximando a A.

No todas las funciones continuas presentan líneas tangentes únicas en cada punto de la función. Por ejemplo, la función y = f(x) = |x| , no posee una tangente en (0, 0).

Definición: Pendiente de la curva

La pendiente de una curva en x = a es la pendiente de la línea tangente en x = a

Definición: La derivada

Dada una función de la forma y = f(x), la derivadade la función e

dy/dx=lim┬(∆x → 0)⁡ (f(x+ ∆x)- f(x))/∆x

a condición de que tal límite exista.

Comentarios acerca de la derivada

La ecuación anterior es la expresión general para la derivada de la función f.

La derivada representa la razón de cambio instantánea en la variable dependiente, dado un cambio en la variable independiente. La notación dy/dx se utiliza para representar la razón de cambio instantánea en y con respecto de un cambio de x. La notación es distinta de lo que representa Δy/Δx , que es la razón de cambio promedio.

La derivada es una expresión general para la pendiente de la gráfica de f para cualquier punto en el dominio.

Sí el límite en la ecuación anterior no existe, la derivada tampoco existe.

Encontrar la derivada (aproximación del límite)

Paso 1 Determine el cociente de la diferencia para f haciendo uso de la ecuación

∆y/∆x=(f(x+ ∆x)- f(x))/∆x

Paso 2 Encuentre el límite del cociente de la diferencia a medida que ∆x→0 empleando la ecuación

dy/dx=lim┬(∆x → 0)⁡〖(f(x+ ∆x)- f(x))/∆x〗

EJEMPLO Encuentre la derivada de f(x) = -5x + 9

Solución

La función f(x) = -5x +9 es lineal con una pendiente de -5. Como la pendiente siempre es -5, deberá encontrarse que la derivada de f es -5.

El cociente de la diferencia es

∆y/∆x=(f(x+ ∆x)- f(x))/∆x

Δy/Δx=([-5(x+∆x)+9]-(-5x+9))/∆x

Δy/Δx=(-5x-5∆x+9+5x-9)/∆x

Δy/Δx=(-5∆x)/∆x

Δy/Δx=-5

La derivada es el límite del cociente de la diferencia, o

dy/dx=lim┬(∆x → 0)⁡(-5)

dy/dx= -5

Así pues, la derivada es exactamente según se había previsto.

Uso e interpretación de la derivada

Para determinar la razón de cambio instantánea (o, de forma equivalente, la pendiente) en cualquier punto de la gráfica de una función f, se sustituye el valor de la variable independiente en la expresión correspondiente a dy/dx. La derivada, evaluada en x = c´´.

EJEMPLO Para la función f(x) = X2:

Determine la razón de cambio instantánea en f(x) cuando x = -3.

Determine la razón de cambio instantánea en f(x) cuando x = 0.

Determine la razón de cambio instantánea en f(x) cuando x = +3.

Solución

f(x)= X2, donde dy/dx=2x. Las respuestas a los incisos a) y c) se consiguen por sustitución en esta expresión.

dy/dx=2( -3)= -6

dy/dx=2( 0)= 0

dy/dx=2( 3 )= +6

PUNTOS PARA PENSAR Y ANALIZAR

Se sabe que la función y = x2 es cuadrática. La expresión para la derivada dy/dx = 2 sugiere que a medida que X se hace más negativa, la pendiente se hace más negativa; y a medida que X se hace más positiva, la pendiente se vuelve más positiva. ¿Parece esto ser correcto a la luz de nuestro esquema?

EJEMPLO En la función f(x) = -2x2 + 3x -10:

determine la derivada.

Determine la razón de cambio instantánea en f(x) cuando x = 5.

Determine en que parte de la función la pendiente es 0.

Solución

1. El cociente de la diferencia de f es

∆y/∆x=(f(x+ ∆x)- f(x))/∆x

Δy/Δx=([-2(x+∆x)^2+3(x+∆x)-10]-(-2x^2+3x-10))/∆x

Δy/Δx=([-2(x^2+2x∆x+〖∆x〗^2 )+3x+3∆x-10]+2x^2-3x+10))/∆x

Δy/Δx= (-2x^2-4x∆x-2〖∆x〗^2+3x+3∆x-10+2x^2-3x+10)/∆x

Al simplificar el numerador se obtiene

Δy/Δx= (-4x∆x-2〖(∆x)〗^2+3∆x)/∆x

Al factorizar ∆x en el numerador y simplificarla nos queda

Δy/Δx= (∆x(-4x-2∆x+3))/∆x= -4x-2∆x+3

2 .La derivada de la función es

dy/dx=lim┬(∆x → 0)⁡(-4x-2∆x+3)

dy/dx= -4x+3

dy/dx=-4(5)+3

dy/dx=-17

La pendiente será 0 siempre que dy/dx=0, o para esta función cuando -4x + 3= 0. Al despejar x se obtiene

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