Matrices y Determinantes

Unidad 2

Matrices y Determinantes.

2.1 Definición de Matriz, notación y orden.

Introducción

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

Matrices

Definición: Se llama Matriz a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.

NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:

; o así:

En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.

Orden de una Matriz

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

Elemento Genérico

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

Otra notación de una Matriz

Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números naturales).

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genérico a aij, es:

Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

Así, la matriz

puede anotarse de esta forma:

A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

Matrices Iguales

Definición: Dos matrices son iguales si y sólo si

i) son del mismo orden

ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.

En símbolos: A = B  aij = bij,  i,j

Clasificación de las Matrices por su Orden

Por su orden ( o dimensión), las matrices se clasifican en:

a) rectangulares

b) cuadradas.

Sea Amxn ;

si m  n, la matriz se dice rectangular;

si m = n, la matriz se dice cuadrada.

Matriz Rectangular Matriz Cuadrada

Matrices Especiales

Matriz fila: Es la matriz que tiene una sola fila.

Ejemplo:

Matriz columna: Es la matriz que tiene una sola columna.

Ejemplo:

Caracterización de las regiones de una matriz cuadrada

Por el comportamiento de los subíndices i y j de un elemento del tipo aij de una matriz cuadrada cualquiera, es posible caracterizar tres regiones en ella:

1) los elementos aij tales que i=j, forman la diagonal principal

2) los

...