Metodos de optimizacion

Trabajo final

Metodos de optimización

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Conceptualización

Antecedentes del problema real

El problema busca encontrar una solución a una persona o grupo real con el fin y proposito de encontrar una solucion efectiva para poder resolver y tomar alguna decisión.

La interrogante principal del problema es la repartición de labores en un determinado tiempo obteniendo la mayor ganancia posible, es decir, el modelamiento de un sistema que describa una fuente de ingresos y que dependa de tiempos y restricciones de recursos.

El modelamiento puede ser aplicado a cualquier sistema que requiera una ganancia monetaria a cambio de un servicio en particular, sin embargo, la restricción que complica el asunto es el límite de tiempo con el que se cuenta para trabajar, además de la repartición del mismo para diferentes labores, bajo este punto de vista las utilidades están directamente relacionadas con el tiempo con el que se cuente. La distribución del tiempo determina la ganancia óptima.

Descripción del problema 

Un Mecanico general está interesado en atender a diferentes clientes dentro de su ciudad. Los clientes solicitan atencion para autos, camiones, motos y maquinaria pesada. Sin embargo no cuenta con suficiente tiempo libre como para realizar todos los trabajos que le gustarían. Su objetivo es obtener la mayor ganancia posible con el poco tiempo que tiene, así que debe programar su horario minuciosamente.

Debido a su carga horaria, le conviene separar su tiempo de trabajo en dos semanas. Y ofrecer sus servicios de forma intercalada para cobrar a la quincena y a fin de cada mes.

La primera semana sólo cuenta con 15 horas de tiempo libre para cumplir con sus clientes, mientras que en la segunda semana tiene un poco más de tiempo, llegando a un máximo de unas 20 horas como mucho. Sin embargo, lo ideal para él sería que la suma entre ambos periodos no llegara a más allá de las 30 horas en total.

Debido a que la dificultad de trabajo es diferente para cada vehiculo, se decidió por poner diferentes precios dependiendo de la complejidad del trabajo.

Usualmente el cobro por hora de su trabajo en taller lo distribuye de la siguiente forma:

            Autos                         $2.000/hora.
            Camión                      $2.500/hora.
            Motos                        $1.500/hora.
            Maquinaria pesada    $3.000/hora.

Sin embargo, la segunda semana está dispuesto a atender a domicilio por lo que los precios de la segunda semana por hora son los siguientes:

            autos                         $2.500/hora.
            Camión                      $2.200/hora.
            Motos                        $2.000/hora.
            Maquinaria pesada    $1.800/hora.

Dado que hay casos que se resuelven en menos tiempo, la distribucion del tiempo para cada caso está dada de la siguiente forma:

              autos                          10 horas
             camiones                    8 horas
             motos                         20 horas
             maquinaria pesada     5 horas


Para evitar sobre exigirse y a su vez obtener la mayor cantidad de ganancias con el tiempo que tiene, ha llegado al acuerdo con los clientes, de repartir las horas máximas de trabajo entre las 2 semanas. Además, las horas de trabajo de casos más complejos, según su criterio (autos y maquinaria), deben repartirse obligatoriamente entre ambas semanas en caso de que sea conveniente para él; más bien, siempre cuando obtenga horas de dichos trabajos en el resultado de la maximización, dentro de lo posible a razón 2 es a 3, de modo que no se acumule el trabajo en un solo periodo para los casos que él considera más difíciles (Se auto coloca 2 nuevas restricciones)

Formulación del modelo lineal.

Para el problema debemos considerar como variables, las horas de trabajo para  cada caso.

X1 = n° de horas de trabajo en autos durante la primera semana
X2 = n° de horas de trabajo en camiones durante la primera semana
X3 = n° de horas de trabajo en motos durante la primera semana
X4 = n° de horas de trabajo en maquinaria pesada durante la primera semana

considerando esto, es normal pensar que la función objetivo sea la utilidad obtenida con estos 4 casos, sin embargo, no son las únicas variables.

Dado que el problema plantea diferentes precios para la otra semana se debe trabajar con los casos de forma separada para cada semana.

X5 = n° de horas de trabajo en autos durante la segunda semana
X6 = n° de horas de trabajo en camiones durante la segunda semana
X7 = n° de horas de trabajo en motos durante la segunda semana
X8 = n° de horas de trabajo en maquinaria pesada durante la segunda semana

Ahora la función objetivo queda de la siguiente forma, respetando los precios para cada instante.

Z= 2000x1 + 2500x2 + 1500x3 + 3000x4 + 2500x5 + 2200x6 + 2000x7 + 1800x8

Esta es la ecuación para determinar  las ganancias al final de las 2 semanas de trabajos en los vehiculos.

Ahora es necesario saber cuántas horas de trabajo para cada caso se programarán, para esto se determina la restricción de horas para cada semana de trabajos.

Si x1, x2, x3 y x4 son las horas totales para la primera semana, la primera restricción está dada por:
 
1) x1 + x2+ x3 + x4 ≤ 15

si x5, x6, x7 y x8 son las horas de la segunda semana, entonces la segunda restricción está

Dada por:

2) x5 + x6+ x7 + x8 ≤ 20

Finalmente, para la cantidad de horas totales tenemos que las horas para cada caso en ambas semanas no puede sobrepasar las 30 horas.

3) x1 + x2+ x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 ≤ 30

Por último, existe un límite de horas para cada trabajo independiente de la semana en que se programe. Para esto es necesario entender que mientras mayor sea la cantidad de horas de un caso en la primera semana, entonces habrá una reducción de horas límite del mismo trabajo para la semana siguiente y viceversa. Por ejemplo, para motos (x3, x7) existe un máximo de 20 horas entre ambas semanas, por lo que si 20 de esas horas se usan en la primera semana, entonces tenemos que x3 = 20 y x7 = 0, por otro lado, al tener precios diferentes puede que sea necesario repartir 13 horas la primera semana y 7 horas la siguiente. En tal caso tendríamos que x1 = 3 y x5 = 7.  

                     4)      autos                           x1 + x5 ≤ 10
                     5)     camiones                     x2+ x6  ≤ 8
                     6)      motos                          x3 + x7 ≤ 20
                     7)      maquinaria pesada      x4 + x8  ≤ 5

          En cuanto a los casos que deben repartirse proporcionalmente (autos y maquinaria).

                       
                                          8)        2x4 ≤ 3x8,     9)    3x5 ≤ 2x1

Finalmente y como es de esperarse, todas las variables son iguales o mayores a 0

                                          0  ≤  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8

Resolución del modelo

Resolución del modelo.

El modelo se resolvió utilizando la herramienta solver de Microsoft Excel
Una vez establecidas las restricciones y la función objetivo se dedujo rápidamente el resultado.

Una vez dejando claro la función a maximizar y ya definidas las restricciones y especificando valores enteros para las variables se logró la solucion optima[pic 3] 

En este caso las soluciones fueron

x1= 6,  x2=6,  x3=0,  x4=3,  x5=4,  x6=2,  x7=7,  x8=2.

Validación de resultados: 


Los resultados obtenidos por el programa Solver indican que la variable x3 es nula. Para entender esto hay que recordar que cada trabajo implica dos variables, y dado que cada caso donde la variable sea 0 está asociado a otra variable del mismo trabajo, podemos suponer que el caso más óptimo se da cuando las horas de tal trabajo se distribuyen únicamente para una sola semana.

En el ejercicio, las variables x1, x2 y x4 arrojaron como solución 6, 6 y 3 respectivamente. Esto quiere decir que los trabajos relacionados a autos, camiones y maquinaria se realizan esas cantidades de horas durante la primera semana de acuerdo a lo que indican aquellas variables. Para la segunda semana, las variables x5, x6, x7 y x8 arrojaron como resultado 4, 2, 7 y 2. La única variable que no ocupa tiempo en el problema de maximización con todas sus restricciones es la variable 3 que corresponde a motos durante la primera semana, esto puede deducirse en un principio sin considerar las restricciones que al ser un problema de maximización no es conveniente dar horas de trabajo para motos durante la primera semana ya que su valor es el menor en relación precio/hora.

Finalmente, se obtiene con las sumas de las horas de las variables que ocupa el máximo posible que son 30 horas y el monto esperado para esas horas de trabajo en los vehiculos es de $68.000, y es de esperarse que no haya forma de obtener un ingreso mayor, considerando las restricciones actuales.

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