Modulo 1 Matematicas II

Nombre: Carlos Ignacio Gómez de la Llave Matrícula: 02699765

Nombre del curso:

Matemáticas II Nombre del profesor:

Idalia Marlen León Garza

Módulo:

Modulo 1 Integración Actividad:

Actividad 1

Fecha: 15 de junio de 2013

Bibliografía:

Haeussler, E. y Paul, R. (2008). Matemáticas para administración y economía (12ª

ed.) México: Prentice Hall. ISBN: 9789702611479.Capítulo 14. Integración

Ejercicios a resolver:

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

Resuelve cada una de las siguientes integrales con la aplicación de las propiedades y fórmulas básicas de integración.

Investiga en tu libro de texto o alguna fuente bibliográfica el tema: División previa a la integración. En este tema se distingue que si el integrando tiene una fracción, a veces es necesario efectuar primero una división previa para después utilizar las reglas de integración y se identifican dos casos:

Caso I. El integrando es una función impropia en la cual hay un solo término en el denominador.

Caso II. El integrando es una función impropia en la cual hay más de un término en el denominador.

Explica en qué consisten cada uno de los casos y desarrolla un ejemplo donde expongas tus explicaciones.

Resuelve los siguientes problemas:

Resuelve cada una de las siguientes integrales. Aplica el método de integración por partes.

Investiga en tu libro de texto o alguna fuente bibliográfica el tema: integrales trigonométricas. Presenta la información a través de un cuadro sinóptico. Además presenta, de acuerdo a tu investigación, la solución de la siguiente integral:

Resuelve las siguientes integrales indefinidas:

Procedimientos:

1)

∫▒〖(2〗^x +〖2x〗^3-cos⁡(x))dx= ∫▒〖2^x+ 2∫▒x^3 - ∫▒〖cos⁡(x)〗〗

=2x/ln⁡2 +2(x^4/4)-sen(x)= 2x/(ln⁡(2))+x^4/2-sen(x)+ c

2∫▒〖x^(1/3)-3/2 ∫▒〖1/√x+〗 ∫▒e^x 〗

2(〖3x〗^(4/3)/4)-3/2 (2√x)+e^x=〖6x〗^(4/3)/4-(6√x)/2+e^x

=〖3x〗^(4/3)/2-3√x+e^x

∫▒〖(x^2-2x+1)/x=∫▒〖x-2+1/x=∫▒〖x-2∫▒〖dx∫▒x^(-1) 〗〗〗〗

=x^2/2-2x+ln⁡(x)

∫▒√x (2x^3+1)+∫▒〖sec⁡x=∫▒〖x^(1/2) (2x^3+1)+∫▒sec⁡〖x=∫▒〖2x^((7/2))+x^(1/2)+ ∫▒sec⁡x 〗〗 〗〗

=2∫▒〖x^(7/2)+∫▒〖x^(1/2)+∫▒sec⁡〖x=2((2x^(9/2))/9)+ 2 x^(3/2)/3+ ln⁡(sec⁡〖x tan⁡〖x 〗)+c〗 〗 〗〗

=(4x^(9/2))/9+(2x^(3/2))/3+ln⁡(sec⁡〖x tan⁡x)+c" " 〗

2)

Caso I. El integrando es una función impropia en la cual hay un solo término en el denominador.

∫▒〖(x^3+x)/x^2 dx= ∫▒〖(x^3/x^2 +x/x^2 )dx=∫▒(x+1/x)dx〗〗

=x^2/2+ln|x|+c

Caso II. El integrando es una función impropia en la cual hay más de un término en el denominador.

∫▒(2x^3+3x^2+x+1)/(2x+1) dx=∫▒〖(x^2+x〗+1/(2x+1))dx

=x^3/3+x^2/2+∫▒〖1/(2x+1) dx" " 〗

3)

∫▒〖e^u du donde u=2+x^3 du=3x^2 dx〗

=1/3 ∫▒〖e^u du= 1/3(e^u 〗)=e^u/3=e^(2+x^3 )/3

∫▒〖du/u=ln|u|=ln|〖2x〗^2-6| 〗

-1∫▒√(3+cot⁡x ) 〖csc〗^2 x(x)= -1∫▒〖√u du donde u=3+cot⁡(x)du=-〖csc〗^2 x〗

=-1∫▒√u du= -1((2u^(3/2))/3)=sustituimos u=(-2)/3(3+cot〖x)〗^(3/2)

∫▒〖-1-2/(1+x)〗+x

=-∫▒〖1dx-2∫▒〖1/(-1+x) dx+∫▒〖x dx〗〗〗

-x-2ln|-1+x|+x^2/2

4)

∫▒〖f dg=fg- ∫▒〖g df〗〗

f=x dg=sen x dx

df=dx g=-cos⁡(x)

fg- ∫▒〖g df〗

x(-cos⁡〖x)- ∫▒〖cos⁡(x)dx〗〗

-x cos⁡〖x-sen x〗

∫▒〖f dg=fg- ∫▒〖g df〗〗

f=x dg= e^x dx

df=dx g=-e^x

(x)(-e^(-x))∫▒〖e^u du donde u=-x y du=-dx〗

=x-e^(-x)-e^u= -xe^(-x)=-e^x (1+x)

∫▒〖exp⁡(∝x cosβx dx= (exp⁡(∝x) (∝cosβx)+βsen(βx))/(∝^2+β^2 )〗

=1/2 e^x cos⁡(x)+ 1/2 e^x sen x

∫▒〖u dv=uv-∫▒vdu〗

u=ln⁡(2t) dv=t dt

du=1/t v= t^2/2 =uv-∫▒〖v du=ln⁡(2t) (t^2/2) ∫▒〖(t^2/2)(1/t)〗〗

=1/2+2ln⁡(2t)- 1/2 ∫▒t= 1/2 t^2 ln⁡(2t)-1/2 (t^2/2)=1/2 t^2 (ln⁡(2t)-1/4 t^2

5)

Integrales Trigonometricas

Potencias pares de sen x o cos x

Potencias impares de sen x o cos x

Con exponente par e impar

Productos de tipo sen(nx) . cos (mx)

1/70 〖cos〗^5 (x)(5cos⁡(2x)-9+

6)

x=2senθ y dx=2cosθ donde √(4-x^2 )=√(4-4 〖sen〗^2 (θ))=2 cos⁡(θ)

y θ=〖sen〗^(-1) (x/2) =∫▒(〖csc〗^2 (u))/4 du = 1/4 ∫▒〖〖csc〗^2 (u)〗 du= -(cot⁡(u))/4

=-√(〖4-x〗^2/4x)

y=5tan⁡(θ) dy=5du 〖sec〗^2 θ √(25+y^2 )=25+25〖tan〗^2 θ=5sec⁡θ

θ=〖tan〗^(-1) (1/5) ∫▒1/25 cotθ cscθ du= 1/25 ∫▒〖cot⁡θ cscθ du〗

1/25 ∫▒〖cos⁡θ/(〖sen〗^2 θ) sustituimos u=sen θ y du=cos⁡θ 〗

=1/25 ∫▒〖du/u^2 = 1/25 (-1/u)= -1/25u= -1/(25 senθ)〗= - csc/25 θ

-√((y^2+25)/25y)

∫▒〖1/(x^2 √(-16x^2 )) dx〗

x=4secθ dx=4dθsecθtanθ √(-16+x^2 )=√(-16+16〖sec〗^2 θ)=4tanθ y θ=〖sec〗^(-1) (x/4)

=∫▒〖cos⁡θ/16 dθ = 1/16 ∫▒〖cosθ du=1/16(senθ)〗〗

=√((-16x^2)/16x " " )

Resultados:

1)

=2x/ln⁡2 +2(x^4/4)-sen(x)= 2x/(ln⁡(2))+x^4/2-sen(x)+ c

=〖3x〗^(4/3)/2-3√x+e^x

=x^2/2-2x+ln⁡(x)

=(4x^(9/2))/9+(2x^(3/2))/3+ln⁡(sec⁡〖x tan⁡x)+c〗

2)

Caso I. El integrando es una función impropia en la cual hay un solo término en el denominador.

=x^2/2+ln|x|+c

Caso II. El integrando es una función impropia en la cual hay más de un término en el denominador.

=x^3/3+x^2/2+∫▒〖1/(2x+1) dx〗

3)

=e^u/3=e^(2+x^3 )/3

∫▒〖du/u=ln|u|=ln|〖2x〗^2-6| 〗

=-1∫▒√u du= -1((2u^(3/2))/3)=sustituimos u=(-2)/3(3+cot〖x)〗^(3/2)

-x-2ln|-1+x|+x^2/2

4)

-x cos⁡〖x-sen x〗

=x-e^(-x)-e^u= -xe^(-x)=-e^x (1+x)

=1/2 e^x cos⁡(x)+ 1/2 e^x sen x

=1/2+2ln⁡(2t)- 1/2 ∫▒t= 1/2 t^2 ln⁡(2t)-1/2 (t^2/2)=1/2 t^2 (ln⁡(2t)-1/4 t^2

=-√(〖4-x〗^2/4x)

-√((y^2+25)/25y)

=√((-16x^2)/16x)

Muy bien tu tarea, completando lo visto en el módulo, me parece interesante consultes la siguiente liga, donde hay ejemplos y está un video de la explicación:

http://www.youtube.com/watch?v=VvM2eI4zyLA

Saludos,

Idalia M. León Garza

Variables Puntos Evaluados Puntos Obtenidos

Forma Datos Generales 3 3

Bibliografía 7 7

Ortografía y redacción 10 10

Total Forma 20 20

Contenido Ejercicios 5 5

Procedimiento 40 40

Resultados 35 35

Total Contenido 80 80

Final Calificación Final 100 100

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