Negociación Internacional.

Parámetros Estadísticos de

Posición, Dispersión y Forma

1. Resumen de las ideas clave

En este artículo docente se van a describir aquellas medidas o estadísticos que permiten sintetizar la información existente en los datos de una muestra de una manera sencilla y fácil de interpretar. En variables de tipo continuo, ello se consigue con la estimación de tres tipos de medidas: posición o tendencia central, dispersión y forma de la distribución. La finalidad del presente artículo docente es elaborar una especie de catálogo al que acudir para conocer y caracterizar la distribución de mis datos y comparar distintas muestras entre sí.

1. Introducción

¿Qué es lo primero que conviene hacer con los datos estadísticos de una variable aleatoria (V.A.) de tipo continuo continua? ¿Qué sentido práctico puede tener el resumir la información obtenida de un conjunto de datos de una V.A. continua en varios parámetros estadísticos?

La estructura que vas a seguir es la siguiente: en primer lugar leerás los objetivos que tienes que conseguir; a continuación trabajarás la definición y características de cada uno de los parámetros, haciendo especial relevancia en el tipo de distribución para las que son más adecuados. Para ello,  resolverás algunos ejemplos prácticos que te ayudarán a comprenderlo mejor. Finalmente, en el cierre, se te matizan los conceptos básicos de aprendizaje con respecto a dichos parámetros y sus aplicaciones prácticas.

1. Objetivos

• Detectar el tipo de distribución que siguen las variables a partir de la estimación de los parámetros descriptivos.
• Conocer  en torno a que valor (centro) se agrupan los datos.
• Identificar si los datos se concentran en torno a un número de manera más concentrada o más dispersa.
• Conocer si la distribución de mis datos sigue una pauta de variabilidad normal, o por el contrario, presenta cierta asimetría o curtosis.  

1. Definición y características de los parámetros estadísticos

4.1. ¿Por qué es importante sintetizar la información de unos datos en lo que se conoce como parámetros estadísticos?

Normalmente, al efectuar un estudio estadístico de una V.A,  los datos que nos encontramos son muy numerosos y están desordenados. En consecuencia, es necesario efectuar un proceso de reducción y ordenación, que me permitan manejarlos de manera más sencilla y práctica.         Este proceso, va a conllevar una pérdida de la información ofrecida originalmente por los datos, que puede llevar a errores. Sin embargo, ésto va a permitir la caracterización de los datos y sobre todo, la comparación de distintas muestras entre sí.

Un parámetro estadístico es un número que resume la ingente cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística. El cálculo de este número está bien definido, usualmente mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la población.

Existen principalmente tres tipos de parámetros estadísticos: de posición, dispersión y forma.

1. Parámetros de Posición

Permiten identificar el valor en torno al cual se agrupan mayoritariamente los datos, es decir, cuyo valor es representativo de todos ellos. Pueden ser de dos tipos:

• Medidas de tendencia central: media, mediana y moda.
• Medidas de posición no central: cuartiles, deciles y perceptiles.

Este tipo de parámetros no tiene por qué coincidir con un valor exacto de la variable, y no deben usarse con carácter general para hacer pronósticos. La elección de un parámetro u otro, dependerá de cada caso particular y de la distribución que siga la variable, pero podemos concluir que en el caso de que los datos sigan una distribución normal, la media aritmética es el parámetro más representativo, mientras que si presenta cierta asimetría conviene más utilizar la mediana. La moda sólo es adecuada en el caso de variables cualitativas.

1. Media Aritmética

Es probablemente el más conocido y usado en la práctica, pero sólo en el caso de V.A continúas. La media de una variable X se denota por [pic 2], y se calcula como se indica a continuación. Dado un conjunto de datos numéricos x1, x2, …, xn, la media no es más que la suma de todos los datos dividido por el número total de valores:

[pic 3]

La media cumple una serie de propiedades básicas:

1. Si a cada uno de los valores de una variable se le suma una constante K, la media se verá incrementada en esa misma constante:

[pic 4]

1. Si a cada uno de los valores de una variable se le multiplica por una constante, K, la media queda multiplicada por esa constante:

[pic 5]

1. Si una variable Y es una transformada lineal de otra variable X, es decir, Y=a+bX, la media de Y es también la transformada lineal de la media de X, es decir, [pic 6]=a+b[pic 7].
2. La suma de las desviaciones de todos los valores de la variable respecto a su media es cero:

[pic 8]

1. Si una variable Z es la suma de dos variables X e Y, la media de Z es también la suma de las medias de las variables X e Y, es decir, si Z=X+Y entonces [pic 9]=[pic 10]+[pic 11].

En general, la media no será un buen parámetro de posición cuando la distribución de los datos sea asimétrica, al ser muy sensible a los valores extremos de la variable.

1. Mediana

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que estos están ordenados de menor a mayor.  La mediana se denota por Me y se calcula de manera sencilla. Ordenados los datos de menor a mayor, Me es:

• Si N es un número impar, entonces Me es el valor que ocupa la posición [pic 12] de la lista de datos ordenados. Démonos cuenta que en este caso, quedarán el mismo número de datos a un lado y al otro de la mediana.
• Si N es un número par, no tenemos un dato central. En ese caso, tomamos la media de los dos datos centrales y que sí dejan el mismo número de valores a un lado y al otro, es decir, la mediana será la media de los datos que ocupan las posiciones [pic 13] y [pic 14] de la lista de datos ordenados.

La mediana es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable y no se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando los datos son es bastante heterogéneos o asimétricos.

Por ejemplo: Sea la variable aleatoria “números de televisores por hogar”. Se realiza una encuesta en 13 hogares, obteniéndose los siguientes resultados:

3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1

Hallar la mediana de los mismos.

El primer paso es ordenar los datos de menor a mayor: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4

Como n es 13, impar,  Me será igual a 2, de manera que queden 6 datos por debajo y 6 por encima de dicha posición.

1. Moda

La moda, representada por Mo, es otro parámetro de posición que se calcula simplemente como el valor que más se repite en la muestra, es decir, el valor con una mayor frecuencia. En consecuencia, no siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.

Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia. Por otro lado, la moda puede no existir cuando en un conjunto de datos, todos éstos son diferentes entre sí y no hay ningún dato que se repita más de una vez.

1. Medidas de posición no central

Se trata de valores de la variable estadística que dejan por debajo de sí determinada cantidad de los datos. Mientras que la mediana deja por debajo de sí al 50% de la distribución, los cuantiles pueden hacerlo con cualquier otro porcentaje. Los más frecuentemente utilizados son cuartiles, si se divide la cantidad de datos en cuatro partes. A estos cuartiles se les denomina y representa de la siguiente manera:

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