Paradigma

ÍNDICE

Introducción

Teorema de Pitágoras………………………………………………………………..3

Demostración del teorema de Pitágoras……………………………………………3

Formula del teorema de Pitágoras…………………………………………………..4

Teorema de tales………………………………………………………………………4

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos…………………………….7

Semejanzas de triángulos…………………………………………………………….9

Teorema de Euclides………………………………………………………………….9

Conclusión

Bibliografía

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas continúan creciendo a un paso acelerado, expandiéndose a nuevos campos y creando acaecimientos aplicaciones en su búsqueda trance he infinita. Donde diversos factores, como el crecimiento de la tecnología, el aumento de aplicaciones, el impacto que ha sido las computadoras, y la manera en que han ido creciendo el sistema numérico acerca de diversos temas, como puede ser el Teorema de Pitágoras y sus demostraciones, Los Teoremas de Tales, La Semejanzas de Triángulos u los Teoremas de Euclides son legados de los griegos que dejaron una gran cantidad de conocimiento sobre diversas áreas. Ellos dejaron los fundamentos matemáticos. Son un pilar fundamental para la geometría como lo señalamos dentro de nuestra investigación, sin duda influye en el desarrollo y formación de la ciencia a través de la historia mientras más avance la investigación más conocemos el sistema matemático.

Se combinan desde siglos pasados para llegar a extender grandemente el alcance y aplicación de las ciencias matemáticas. Por lo tanto siendo las matemáticas una parte fundamental del desarrollo del hombre de ayer y hoy es que necesitamos ver en retrospectiva a quienes fueron los gestores de grandes avances en las ciencias matemáticas. Desgraciadamente no todos tenemos la base matemática que nos gustaría o que deberíamos tener, ya sea por que no las recuerdas, o simplemente nunca has tenido ni idea de cómo se fueron gestando, A través de estos apuntes manifestamos algunas ideas de conocimiento que pudimos obtener acerca de varias herramientas matemáticas.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Para entender bien el Teorema de Pitágoras debemos de tener claros algunos conceptos. Por ejemplo que sólo es aplicable a los triángulos rectángulos, es decir, a aquellos triángulos que tienen un ángulo recto. También hemos de saber cuales son los nombres que reciben los lados de un triángulo rectángulo: los lados que conforman el ángulo recto se llaman catetos, mientras el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Otro aspecto importante sobre el Teorema de Pitágoras es el relacionado con sus usos, este teorema es utilizado en una gran cantidad de situaciones para hallar medidas que desconocemos y que de otra forma no se podrían calcular de forma exacta o que llevaría mucho tiempo hacerlo.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió entre los años 325 y 265 antes de Cristo y que formuló una de las demostraciones más famosas y fáciles de comprender sobre el teorema de Pitágoras.

Lo que demostró Euclides fue que el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas que tienen como lado cada uno de los catetos de ese mismo triángulo. En la siguiente imagen vemos una demostración gráfica de esto que acabamos de comentar,

FÓRMULA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC = cateto = a

BC = cateto = b

AB = hipotenusa = c

La expresión matemática que representa este Teorema es:

Hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2

c2 = a2 + b2

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

TEOREMAS DE TALES

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales.

Primero: Explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales").

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva.

Segundo: Desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

El teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo. Es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

El corolario “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”

En la circunferencia de centro O y radio r los segmentos OA, OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

El corolario “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

ABC; r || AC

r corta AB en L

r corta BC en M

Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos. Haremos una primera

consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

por carácter reflejo

por ser correspondientes entre r || AC, secante AB

por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:

De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:

Por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

por carácter simétrico.

Tercer caso

r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

• BN=BM por construcción

• α=α' por ser opuestos por el vértice.

• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición. De y , y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM BLM ~ BAC

SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

Donde , se la razón de semejanza.

TEOREMA DE EUCLIDES

(330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de su vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométrico conocida simplemente por Los Elementos. Además de estas y otras obras, Euclides escribió los datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros.

Los Porismos, es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Se piensa que fue una de su mejor obra.

Se presentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.

 Teorema de un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura:

Donde:

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC.

Entonces:

Que es lo mismo que:

Ver: PSU: Geometría:

Vistas las fórmulas a las que arriba hemos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a, si

c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b si

c = 4 y p = 1

 Teorema a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB son semejantes; por lo tanto, sus lados homólogos

Correspondientes son proporcionales.

Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a:

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto, si h2 = p • q

Entonces

Ejemplos: 1) En la figura a la derecha, determinar h,

si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda,

determinar h, si p = 3 y q = 12

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc) de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

CONCLUSIÓN

La Historia de la Ciencia nos lleva a concluir que el conocimiento científico es consecuencia del pensar de miles de mentes humanas, sujetas a las pasiones propias e inherentes al hombre, pero maravillosas sin duda alguna. Estos científicos son seres humanos y siempre me ha interesado conocer sus nombres y sus aportaciones, su ambiente de trabajo y la relación que tuvieron con sus predecesores y la influencia sobre sus sucesores, gracias al aporte de estos hombres que determinaron pensar es que hoy podemos aplicar sus conocimientos matemáticos.

• Al hablar sobre el teorema de Pitágoras se dice que es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

• Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2.

• Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

• Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma.

• El teorema de Euclides se presenta por dos Teoremas el primero es referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y el segundo es referido a la altura.

Al investigar acerca de estos temas hemos descubierto la importancia que existe en reflexionar, y como cada uno de nosotros puede llegar a emular los conocimientos que obtuvimos através historia matemático junto a la humanidad, al descubrir en los números un mundo infinito que da respuestas al universo que nos rodea.

BIBLIOGRAFÍA

es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras‎

www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/.../TeoremaPitagoras.html‎

es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales‎

mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej2.htm‎

www.vitutor.com/geo/eso/ss_2.html‎

maralboran.org/wikipedia/index.php/Semejanza_de_triángulos‎

es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides‎

www.ceibal.edu.uy/UserFiles/...euclides.../teorema_de_euclides.html

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERO ELPODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

COLEGIO SANTA ROSALIA PALERMO

SAN CRISTÓBAL ESTADO TÁCHIRA

TRABAJO DE MATEMÁTICAS

REALIZADO POR:

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