Probabilidad Y Estadistica

Apuntes de Probabilidad y Estadística

Unidad 2 – Fundamentos de la teoría de la probabilidad

2.1 Teoría elemental de probabilidad.

Historia de la probabilidad

Los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 40000 años; así por ejemplo, los dados se utilizaron tanto en el juego como en cereonias religiosas. Las civilizaciones antiguas explicaban el azar mediante la voluntad divina. En el Renacimiento el abandono progresivo de explicaciones teológicas conduce a una reconsideración de los experimentos aleatorios.

Ya en el siglo XVI, los matemáticos italianos comenzaron a interpretar los resultados de experimentos aleatorios simples y a finales del siglo XVI, existía un análisis empírico de los resultados aleatorios.

El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI y XVII. El cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente en el período que transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos del siglo XVIII. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de

juego y con el tiempo a otros problemas socioeconómicos.

Durante el siglo XVIII el cálculo de probabilidades se extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos). El factor principal impulsor es el conjunto de problemas de astronomía y física que surgen ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newton. Estas investigaciones van a ser de importancia fundamental en el desarrollo de la Estadística.

La industria de los seguros, que nació en el siglo XIX, requería un conocimiento

exacto del riesgo de perder pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas.

¿Qué es probabilidad? Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.

En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre

2.2 Probabilidad de Eventos:

Definición de espacio muestral:

Por espacio muestral (también conocido como espacio de muestreo) se entiende el grupo de todos los resultados que se pueden obtener tras un experimento, y se denota con la letra mayúscula S.

Ejemplo:

El lanzar una moneda al aire tendría como espacio muestral el conjunto: cara o cruz.

Definición de evento:

Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento y se denota con una letra mayúscula.

Ejemplo:

Al tirar un dado hay n = 6 resultados posibles. El espacio muestral es 123456 Ω = {w, w2, w3, w4, w5, w6} donde ω1es el evento de sacar un 1, ω2 es el evento de sacar un 2, ω3 es el evento de sacar un 3. ω4 es el evento de sacar un 4, ω5 es el evento de sacar un 5 y ω6 es el evento de sacar un 6. Si definimos A como el evento de sacar un número par, entonces A= {w2, w4, w6).

Definición de complemento:

El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el complemento A como A’.

Ejemplo:

Sea R el evento de que se seleccione una carta roja de una baraja ordinaria de 52 cartas, y sea S toda la baraja. Entonces R’ es el evento de que la carta seleccionada no sea una roja sino una negra.

Definición de Intersección

La intersección de los eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∩ B, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y B.

Ejemplo:

Sea C el evento de que una persona seleccionada al azar en un café internet sea estudiante universitario, y sea M el evento de que la persona sea hombre. Entonces C∩M es el evento de todos los estudiantes universitarios hombres en el café internet.

Nota: Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Sea M= {a, e, i, o, u} y N= {r, s, t}; entonces, M ∩ N=Ø. Es decir, M y N no tienen elementos comunes y por lo tanto no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Definición de unión

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A UB, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

Ejemplo:

Sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}, entonces A U B= {a, b, c, d, e}

Diagramas de Venn

Es la forma gráfica de ilustrar la relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral. En un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo. De esta forma, en la siguiente figura vemos que:

A∩B= regiones 1 y 2

B∩C= regiones 1 y 3

AUC= regiones 1, 2, 3, 4, 5, y 7

B´∩A= regiones 4 y 7

A∩B∩C= región 1

(AUB)∩C´= regiones 2,6 y 7

Ejemplo:

En la figura siguiente vemos que los eventos A, B y C son subconjuntos del espacio muestral S. También es claro que el evento B es un subconjunto del evento A; el evento B∩C no tiene elementos y, por ello, B y C son mutuamente excluyentes; el evento A∩ C tiene al menos un elemento; y el evento AU B = A.

La figura, por lo tanto, puede representar una situación donde seleccionamos una carta al azar de una baraja ordinaria de 52 cartas y observamos si ocurren los siguientes eventos:

A= La carta es roja

B= La carta es el jack, la reina o el rey de diamantes

C= La carta es un as

Claramente, el evento A ∩ C consiste sólo en los dos ases rojos.

2.3 Probabilidad con técnicas de conteo: Axiomas y Teoremas

Uno de los problemas que el estadístico debe considerar e intentar evaluar es el elemento de posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se realiza un experimento. Estos problemas pertenecen al campo de la probabilidad. En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral, sin listar realmente cada elemento.

Definición: La probabilidad de un evento A es la suma de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto,

0< P(A) <1, P (Ø) = 0, Y P(S)=1

Teorema 1:

Si el experimento puede tener como resultado cualquier de N diferentes resultados igualmente probables, y si exactamente n de esos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

P(A)=n/N

Ejemplo:

Una clase de estadística para ingenieros consta de 25 estudiantes de ingeniería en sistemas computacionales, 10 de industrial, 10 de gestión empresarial y 8 de industrias alimentarias. Si el profesor elige a una persona al azar para que conteste una pregunta, encuentre la probabilidad de que el estudiante elegido sea:

Un estudiante de ingeniería en sistemas computacionales

Un estudiante de ingeniería industrial o alimentarias

Solución:

Se denotan con C, I, G y A las especialidades de especialidades de los estudiantes en ingeniería en sistemas computacionales, industrial, gestión empresarial y alimentarias, respectivamente. El número total de estudiantes en la clase es 53, todos los cuales tienen la probabilidad de ser seleccionados.

Como 25 de los 53 estudiantes tienen la especialidad en ingeniería en Sistemas Computacionales, la probabilidad del evento C, elegir a alguien de ingeniería en Sistemas Computacionales, es:

P(C)= 25/53

Como 18 de los 53 estudiantes son de la especialidad de Ingeniería Industrial o alimentarias, se sigue que:

P(C U A)= 18/53

Teorema 2 (regla aditiva):

Si A y B son dos eventos, entonces:

P(A U B)= P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Nota: Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A U B)= P(A) + P (B)

Ejemplo:

Al

...