Probabilidad Y Estadistica
Enviado por systemshackers • 24 de Febrero de 2015 • 6.585 Palabras (27 Páginas) • 288 Visitas
Apuntes de Probabilidad y Estadística
Unidad 2 – Fundamentos de la teoría de la probabilidad
2.1 Teoría elemental de probabilidad.
Historia de la probabilidad
Los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 40000 años; así por ejemplo, los dados se utilizaron tanto en el juego como en cereonias religiosas. Las civilizaciones antiguas explicaban el azar mediante la voluntad divina. En el Renacimiento el abandono progresivo de explicaciones teológicas conduce a una reconsideración de los experimentos aleatorios.
Ya en el siglo XVI, los matemáticos italianos comenzaron a interpretar los resultados de experimentos aleatorios simples y a finales del siglo XVI, existía un análisis empírico de los resultados aleatorios.
El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI y XVII. El cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente en el período que transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos del siglo XVIII. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de
juego y con el tiempo a otros problemas socioeconómicos.
Durante el siglo XVIII el cálculo de probabilidades se extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos). El factor principal impulsor es el conjunto de problemas de astronomía y física que surgen ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newton. Estas investigaciones van a ser de importancia fundamental en el desarrollo de la Estadística.
La industria de los seguros, que nació en el siglo XIX, requería un conocimiento
exacto del riesgo de perder pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas.
¿Qué es probabilidad? Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.
La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre
2.2 Probabilidad de Eventos:
Definición de espacio muestral:
Por espacio muestral (también conocido como espacio de muestreo) se entiende el grupo de todos los resultados que se pueden obtener tras un experimento, y se denota con la letra mayúscula S.
Ejemplo:
El lanzar una moneda al aire tendría como espacio muestral el conjunto: cara o cruz.
Definición de evento:
Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento y se denota con una letra mayúscula.
Ejemplo:
Al tirar un dado hay n = 6 resultados posibles. El espacio muestral es 123456 Ω = {w, w2, w3, w4, w5, w6} donde ω1es el evento de sacar un 1, ω2 es el evento de sacar un 2, ω3 es el evento de sacar un 3. ω4 es el evento de sacar un 4, ω5 es el evento de sacar un 5 y ω6 es el evento de sacar un 6. Si definimos A como el evento de sacar un número par, entonces A= {w2, w4, w6).
Definición de complemento:
El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el complemento A como A’.
Ejemplo:
Sea R el evento de que se seleccione una carta roja de una baraja ordinaria de 52 cartas, y sea S toda la baraja. Entonces R’ es el evento de que la carta seleccionada no sea una roja sino una negra.
Definición de Intersección
La intersección de los eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∩ B, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y B.
Ejemplo:
Sea C el evento de que una persona seleccionada al azar en un café internet sea estudiante universitario, y sea M el evento de que la persona sea hombre. Entonces C∩M es el evento de todos los estudiantes universitarios hombres en el café internet.
Nota: Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Sea M= {a, e, i, o, u} y N= {r, s, t}; entonces, M ∩ N=Ø. Es decir, M y N no tienen elementos comunes y por lo tanto no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Definición de unión
La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A UB, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.
Ejemplo:
Sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}, entonces A U B= {a, b, c, d, e}
Diagramas de Venn
Es la forma gráfica de ilustrar la relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral. En un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos
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