Problemas Resueltos De Probabilidad

Problemas Resueltos de Probabilidad

Espacios muestrales y eventos

1. Sean A y B eventos. Hallar la expresión para:

a. Sucede A o no B: AUBc

b. Ni A, ni B suceden: AcUBc

2. Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión para que:

a. Sucede exactamente uno de los 3 eventos:

Esto, escrito en nuestro lenguaje es que sucede A y no B y no C. o sucede B y no A y no C. O sucede C y no A y no B, si convertimos y por Ç, así como o por È, tenemos:

(AÇBcÇCc)U(BÇAcÇCc)U(CÇBcÇAc)

b. Suceden por lo menos dos de los eventos.

que sucedan dos a pares sería AÇB, BÇC y AÇC, ahora tenemos que la unión de estos es que sucedan al menos dos (AÇB)U(BÇC)U(AÇC)

c. Que ninguno suceda:

Que suceda al menos uno sería AUBUC, que no suceda ninguno sería (AUBUC)c=AcÇBcÇCc, lo cual es cierto por leyes de De’Morgan.

d. Que sucedan A o B, pero no C: (AÈB)ÇCc.

3. Sea el caso de lanzar una moneda de centavo una de diez centavos y un dado:

d. Escribir el espacio muestral apropiado:

Para esto, tomemos los conjuntos de posibilidades. Sea, A:={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B:={cara(centavo),escudo(centavo)}, C:={cara(10 centavos),escudo(10 centavos)}, Nuestro espacio muestral está definido por el producto cartesiano de estos tres conjuntos, es decir A´B´C.

b. Exprese explícitamente que aparezcan dos caras y un número primo:

Primero que nada, el conjunto de primos es {2, 3, 5}, entonces si caen dos caras con ellos basta con escribir: A= {2C1C2, 3C1C2, 5C1C2}, sería el caso. Ahora si queremos expresar que aparezca un dos, sería B={2C1C2, 2E1C2, 2C1E2, 2E1E2},

c. Escribir explícitamente que sucedan A y B: Esto lo expresamos por la intersección de los conjuntos, recordando de la primaria: {2C1C2}.

Espacios finitos de probabilidad

1. ¿Cuáles funciones definen un espacio de probabilidad de S={a, b, c}?

a. P(a)=¼, P(b)=1/3, P(c)=½, P(a)+P(b)+P(c)=P(S)=1 (por teorema de probabilidad de eventos disjuntos, pero esto no es cierto para esta función de probabilidad, por lo que no es una función de probabilidad sobre S.

b. P(a)=2/3, P(b)=-1/3, P(c)=2/3, aún cuando la suma de las mismas es 1, tenemos que P(b)<0, no puede ser, pues P:S®[0,1], por lo tanto en este caso P no está bien definida.

c. P(a)=1/6, P(b)=1/3, P(c)=1/2, esta función está bien definida.

d. P(a)=0, P(b)=2/3, P(c)=1/3), está bien definida.

2. Para S= {a, b, c}, Hallar P(a) si:

a. P(b)=1/3, P(c)=¼ Þ P(a)=1-1/3-¼=5/12

b. P(a)=2P(b) y P(c)=¼ Þ ¼+3P(b)=1 Þ P(b)=¼ y P(a)=½

c. P({c, b})=2P(a) Þ3P(a)=1 Þ P(a)=1/3

d. P(c)=2P(b) y P(b)=3P(a): Tenemos que P(a)+P(b)+P(c)=1, sustituyendo, las ecuaciones tenemos que P(a)+3P(a)+6P(a)=1, de donde P(a)=1/10.

3. Se carga una moneda de tal manera que las posibilidad de que salga cara es tres veces de que salga sello, hallar las probabilidades de cada una.

Se considera que P(C)=3P(S) y que P(C)+P(S)=1 Þ 3P(S)+P(S)=1 P(S)=1/4, P(C)=3/4.

4. Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C, hallar la Probabilidad de que gane B o C.

Se nos dice que P(A)=P(B)=2P(C), entonces al sustituir en P(A)+P(B)+P(C)=1, tendremos que 2P(A)+½P(A)=1, de donde P(A)=P(B)=2/5 y P(C)=1/5, entonces como buscamos la sucesión de que dos eventos mutuamente excluyentes sucedan es la suma por lo tanto P(B,C)=3/5.

5. Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de la posibilidad de salir antes que los impares, Hallar la probabilidad de que

a. Aparezca un número par:

Tenemos que P(par)=2P(impar), lo que se traduce en: P(2,4,6)=2P(1,3,5), es decir, que P(2)+P(4)+P(6)=2(P(1)+P(3)+P(5)), ahora para ver la probabilidad de que sea par, basta con tomar P(par)=2P(impar) y sumar: P(par)+P(impar)=P(par)+½P(par)=1, por lo que P(par)=2/3.

b. Aparezca un primo

Aquí requerimos P(2)+P(3)+P(5). Para esto, tomemos que P(1)+P(3)+P(5)=1/3, como las probabilidades de todos los impares entre sí son iguales tenemos que 3P(1)=1/3, de donde P(1)=P(3)=P(5)=1/9, así mismo P(2)+P(4)+P(6)=3P(2)=2/3, por lo que P(2)=2/9, por lo que al final, ya tenemos lo que necesitamos y solo debemos sumar P(primos)=P(2)+P(3)+P(5)=4/9

c. Aparezca un impar

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