Tablas De Verdades

1.- Espacios vectoriales

Definición y Propiedades de un espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

1.1 Subespacios vectoriales.

Definicíon de subespacios vectoriales. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W ⊆ V, se dice que es un subespacio de V, denotado por W < V, si W, junto con las operaciones de adición y multiplicación por escalar, definidas en V, es, por sí solo, un espacio vectorial, sobre el mismo campo K.

Teorema. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W ⊆ V, es un subespacio de V, denotado por W < V, si y solo si:

1. El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de adición. Es decir

w1 + w2 ∈ W ∀ w1, w2 ∈ W

2. El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de multiplicación escalar.

λw1 ∈ W ∀ λ ∈ K y ∀ w1 ∈ W.

Prueba: Primero probaremos que si un subconjunto W ⊂ V es un subespacio de V; es decir, W < V entonces debe satisfacer las dos propiedades. Suponga que W < V, es un subespacio de V, entonces por dentición W es un espacio vectorial sobre el campo K. Por lo tanto, W debe estar cerrado respecto a las operaciones de adición y multiplicación por escalar.

Suponga ahora que un subconjunto W ⊂ V satisface la clausura respecto a la adición y la multiplicación por escalar, entonces se probara que W < V. Puesto que W ⊂ V entonces se satisfacen las siguientes propiedades de las dos operaciones

1. La adición es asociativa.

w1 + (w2 + w3) = (w1 + w2) + w3, ∀ w1, w2, w3 ∈ W

2. La adición es conmutativa

w1 + w2 = w2 + w1, ∀ w1, w2 ∈ W

3. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial.

k(w1 + w2) = kw1 + kw2 ∀ k ∈ K, y w1, w2 ∈ W.

4. La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares.

(k1 + k2)w = k1 w + k2 w ∀ k1,k2 ∈ K, y w ∈ W.

5. La multiplicación escalar es pseudoasociativa.

(k1 • k2)w = k1(k2 w) ∀ k1,k2 ∈ K ∀ w ∈ W.

6. Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Si 1 ∈ K es el idéntico multiplicativo, se tiene que

1~w = w ∀w ∈ W.

7. Puesto que W está cerrado respecto a la multiplicación por escalar, 0 ∈ K y se sabe que 0w = 0, ∀w ∈ W, entonces 0 ∈ W y W contiene al idéntico aditivo.

8. Si 1 es el idéntico multiplicativo del campo K, se tiene que

1 + (−1) = 0

Por la clausura del conjunto W respecto a la multiplicación por escalar

(−1)w ∈ W ∀ w ∈ W.

Además, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación por escalar respecto a la adición, se tiene que

[1 + (−1)]w = w + (−1)w = 0w = 0 ∀w ∈ W

Por lo tanto (−1)w es el inverso aditivo de w ∈ W y W también contiene los inversos aditivos.

Por lo tanto, la clausura respecto a la adición, junto con las incisos 1, 2, 7 y 8 prueban que W es un grupo aditivo respecto a la adición. Finalmente, la clausura respecto a la multiplicación por escalar, junto con los incisos, 3, 4, 5 y 6 completan la prueba que W < V.  

1.2 Combinación lineal

Dados

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