Taller De Evaluación

Propiedades de los sistemas de logaritmos:

En todo sistema de logaritmos la base solo puede ser positiva y diferente de uno.

Ejemplo Nº 1.- Veamos que pasa si tenemos un logaritmo con base -3.

log_(-3)⁡〖9=x 〗

Luego: 9 = (-3)2 Esta igualdad se cumple. Si x = 2

log_(-3)⁡〖27=x〗

Luego: 27 = (-3)3 No existe un valor para x que haga verdadera la igualdad. Si consideramos:

x = 3  27 = (-3)3

27 = - 27 No cumple la igualdad

Así entonces, si la base es negativa, hay números positivos que no tienen logaritmos. Sólo existirán para los números cuyo logaritmo es número par.

Si consideramos base uno, por ejemplo: log_1⁡〖10=x 〗  10 = 1x

Esta ecuación no tiene solución, porque no hay ningún número x al que 1 pueda ser elevado para obtener 10.

Entonces, debe quedar claro: la base de un logaritmo sólo puede ser positiva y distinta a 1.

Sólo hay logaritmos de números positivos

Ejemplo Nº 2.- log_3⁡〖9=2 〗, pero 〖log_3 (〗⁡〖-9)=x 〗

-9 = 3x

Cualquier número que sea x, (3x) será siempre positivo, y no será posible obtener -9

Por lo tanto: Los números negativos no tienen logaritmos, porque siendo la base positiva, todas sus potencias son siempre positivas.

En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es igual a 1.

Si tenemos: log_a⁡a=x (por definición)

a = ax (x sólo puede ser 1)  log_a⁡a=1

Ya hemos dicho que 〖log〗_a⁡〖1=0〗, además

Los números mayores que 1 tienen logaritmos positivos (siempre que la base sea mayor que 1)

Los números menores que 1 (entre 0 y 1) tienen logaritmos negativos (si la base es mayor que 1).

Ejemplo Nº 3.- Con el logaritmo en base 10 verifique el signo de los siguientes números, que son mayores que 1 y menores que 1.

log⁡〖30=1,4771212〗,

log⁡〖0,01= -2〗,

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

〖log〗_a⁡〖(A.B)= 〖log〗_a⁡A+ 〖log〗_a⁡B 〗

Prueba 1.- log⁡〖(10.100)= log⁡10+ log⁡100 〗

log⁡〖(1000)= 1+2〗

3 = 3 Cumple

Prueba 2.- log_2⁡〖(8.4)= log_2⁡8+log_2⁡4 〗

log_2⁡〖32=3+2〗

5 = 5 ¡Cumple!

Demostración:

Para demostrar que log_a⁡〖(A.B)= log_a⁡A+ log_a⁡B 〗, hacemos log_a⁡A=x, log_a⁡〖B=y〗

Luego por definición tenemos: A = ax , B = ay

Multiplicando  A . B = ax.ay

A.B = ax+y

Luego, si (x + y) es el exponente al que hay elevar la base a, para obtener A.B, entonces (x + y) es el logaritmo en base a de A.B; es decir que:

log_a⁡〖(A.B)=x+y〗, reemplazando x, y, tenemos:

log_a⁡〖(A.B)= log_a⁡〖A+ log_a⁡B 〗 〗

Prueba 1: log⁡(10.100)= log⁡10+ log⁡100

log⁡〖1000=1+2〗

3 = 3 ¡Cumple!

Prueba 2: log_2⁡〖(8.4)〗= log_2⁡8+ 〖log2〗_2⁡4

Demostración:

Para demostrar que log_a⁡〖(A.B)= log_a⁡〖A+ log_a⁡B 〗 〗, hacemos log_a⁡〖A=x〗; log_a⁡〖B=y〗

Luego por definición tenemos: A = ax ; B = ay

Multiplicando  A . B = ax ay

A . B = ax + y

Luego, si (x + y) es el exponente al que hay que elevar la base a, para obtener A . B, entonces (x + y) es el logaritmo en base a de A . B; es decir que:

log_a⁡〖(A.B)=x+y,〗 reemplazando x, y, tenemos

log_a⁡〖(A.B)= log_a⁡〖A+ log_a⁡B 〗 〗

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:

log_a⁡〖(A/B)= log_a⁡A- log_a⁡B 〗

Prueba 1

log⁡〖(10000/100〗)= log⁡10000- log⁡100

log⁡〖100=4-2〗

2 = 2 ¡Cumple!

Prueba 2

〖log_3 (〗⁡〖27/3)= log_3⁡27- log_3⁡3 〗

Demostración:

Para demostrar que log_a⁡〖(A/B)= log_a⁡A- log_a⁡B 〗, hacemos log_a⁡〖A=x〗; log_a⁡〖B=y〗

Luego por definición tenemos: A = ax ; B = ay

Dividiendo: A/B= a^x/a^y

A/B=a^x.a^(-y)  A/B=a^((x-y))

Luego, si (x – y) es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener (A/B), entonces (x – y) es el logaritmo en base a de A/B, es decir que:

〖log_a (〗⁡〖A/B〗)=x-y, reemplazando x, y tenemos:

log_a⁡〖(A/B)= log_a⁡A- log_a⁡B 〗

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:

log_a⁡〖A^n=n.log_a⁡A 〗

Prueba 1: log⁡〖〖10〗^3 〗=3.log⁡10

log⁡〖1000=3.1〗

3 = 3 ¡Cumple!

Prueba

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