Transformada

Por Definición ℒ{3x + 2}

Como la propiedad de Linealidad de Laplace dice que

ℒ{f+g} = ℒ{f} + ℒ{g}

Entonces tenemos que:

ℒ{3x+2} = ℒ{3x} + ℒ{2}

Y como ℒ{∞ f} = ∞ ℒ{f}

Por lo tanto:

3 ℒ{x} + ℒ{2}

Aplicando las fórmulas de Laplace

ℒ{x} = 1/s^2 y ℒ{∞} = ∞/s

3 ℒ{x} = 1/s^2 y ℒ{2} = 2/s

∴ ℒ{3x+2} = 3/( s^2 ) + 2/s

Resolver y’’ + 3y’ + 2y = 2 δ (x-4) ; y(0) = y’(0) = 0

ℒ{y’’} + ℒ{3y’} + ℒ{2y} = ℒ{2 δ (x-4)}

ℒ{y’’} + 3 ℒ{y’} + 2 ℒ{y} = 2 ℒ{ δ (x-4)}

s^2Y – sy(0) – y’(0) + 3 (sY – y(0)) + 2Y = 2 ℒ{ δ (x-4)}

como ℒ{ δ (x) } = 1 y ℒ{ δ (x – x0) } = 1 - e^(-x_0 s)

s^2Y – sy(0) – y’(0) + 3 (sY – y(0)) + 2Y = 2 e^(-4s)

Evaluando y(0) = y’(0) = 0

s^2Y+ 3 sY + 2Y = 2 e^(-4s)

Y(s^2+3s+2) = 2 e^(-4s)

Y= (2 )/((s^2+3s+2) ) e^(-4s)

(s^2+3s+2) = (s+1)(s+2)

A/(s+1)+ B/(s+2) = (2 )/((s+1)(s+2) ) e^(-4s)

As + 2A + Bs + B = 2

s: A + B = 0 A = -B A = -2

: 2A + B = 2 -2B + B = 2  -B = 2 B = 2

(2/(S+1)-2/(S+2)) e^(-4s)

Transformando:

(2 e^(-x)-2 e^(-2x)) e^(-4s)

2 ( e^(-x)-e^(-2x)) e^(-4s)

2 ( e^(-x)-e^(-2x)) δ(x - 4)

2 δ(x - 4) [ e^(-x)-e^(-2x)]

Encontrar la serie de Fourier de

Como el periodo en esta función es T = 2π

Y la Longitud es L= T/2= 2π/2 = π

-A si -π < x < 0

Y f(x) =

A si 0 < x < π

Como A0 = 1/2L [ ∫_(-L)^L▒f(x)dx

1/2π [∫_(-π)^0▒〖-A dx + ∫_0^π▒〖A dx〗 〗] < = > 1/2π [-A∫_(-π)^0▒〖

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