Transformada De Fourier

INTRODUCCIÓN

Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal.

A simple vista, es evidente que el cálculo directo de una ecuación de este tipo lleva asociado un número considerable de operaciones. Pero esta carga computacional puede reducirse en gran medida si la función base de la transformación es separable. Afortunadamente, las transformadas más usuales, incluyendo la transformada de Fourier, tienen funciones base separable. Además, la variedad de aplicaciones que encuentran las transformadas ha contribuido al desarrollo de métodos muy eficientes para su cálculo.

ESQUEMA

 Introducción

 Esquema

1. Transformadas de Fourier

2. Propiedades y tabla

3. Interpretación y grafica de la transformación

4. Diferencias con las transformada de laplace

5. Realizar un ejercicios de la transformada de Fourier

 Conclusión

 Bibliografía

TRANSFORMADAS DE FOURIE.

La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de Fourier. En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es , es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -herzios-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

De forma que la constante beta cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente a dimensional. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas.

En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

.

DEFINICIÓN FORMAL

Sea f una función Lebesgue integrable:

La transformada de Fourier de f es la función:

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F (f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.

El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

PROPIEDADES BASICAS

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

• Cambio de escala:

•

• Traslación:

• Traslación en la variable transformada:

•

• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables:

• Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

Pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

TABLA DE TRANSFORMACIONES BÁSICAS.

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente, siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Una de las herramientas matemáticas más útiles en ciencia es la transformada de Fourier (TF). Sus aplicaciones van desde la teoría de la señal hasta la Climatología, pasando por la Geografía e incluso la Biología. En relación a la Astronomía, hay muchos campos en los que es útil aplicarla. En este artículo y en su segunda parte trataremos de dos utilidades, referentes al campo aficionado: el análisis de series temporales y el tratamiento digital de imágenes. En esta parte hablaremos de la primera cuestión.

A pesar de que su formulación pueda parecer difícil a aquellos que no disfruten de una educación matemática superior, los rudimentos de la transformada de Fourier pueden entenderse perfectamente si se pone la atención suficiente. Hay dos fases: comprender qué es lo que se hace con una función -pues lo que se transforma son funciones-, visualizando de alguna manera el resultado; y después, ser capaz de utilizar esta técnica por nosotros mismos, para lo que no se necesita un conocimiento más profundo: hay programas informáticos que hacen las operaciones por nosotros. Una tercera etapa consistiría en ser capaces de manejar la TF analíticamente, es decir, con sus expresiones matemáticas. Esta tercera etapa requiere de una base universitaria, pero no se pretende aquí que seamos capaces de diseñar nuestros propios filtros digitales, sino más bien que sepamos aplicar los que ya existen.

La transformada de Fourier es una operación que se realiza sobre funciones. Es decir, vamos a coger dos variables, la una dependiente de la otra -una función- y la vamos a convertir en otra variable que depende de una nueva -otra función-.

A la primera función la llamamos , o si preferimos, . Por definición, la transformada de Fourier de es:

¿Qué nos dice esta expresión? Es una especie de suma infinita -una integral- de la función de partida por el número elevado a la unidad imaginaria que multiplica a , a la nueva variable que decíamos, y a . Ya tenemos otra función, que depende de . Si aplicamos una conocida equivalencia que debemos a Euler -léase óiler-, se puede transformar lo anterior en:

Lo que hemos hecho es mirar de otra manera la exponencial elevada a un complejo. Ahora tenemos trigonometría, y es más fácil entender lo que se le hace a la función. Lo que Fourier demostró en realidad es que cualquier función que cumpla una serie de condiciones razonables (las condiciones de Dirichlet) es equivalente a su transformada.

Estas condiciones razonables se cumplen para la mayoría de las funciones con las que vamos a topar, por lo que se puede decir que la TF se puede aplicar casi siempre en el análisis de series temporales en Astronomía.

¿Y qué tiene de bueno que una función sea equivalente a su TF? Lo veremos con unos ejemplos.

Supongamos que tenemos la función , es decir, un polinomio sencillo, definido entre 0 y 1 por simplicidad. Si aplicamos la TF y dibujamos el resultado en el mismo plano en que dibujamos , nos queda el gráfico 1.

Figura 1.

Figura 2.

Hemos transformado una función en una suma de senos y cosenos que encaja bastante bien con ella. Hasta aquí, poco impresionante; la función era muy sencilla y hemos ganado poco. Lo interesante viene cuando aplicamos la transformada a funciones más complejas.

Para una función como en la gráfica 2, que

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