Transformada De Lplace

Trabajo de Investigación Cálculo:

Transformada de Laplace

INDICE

INTRODUCCIÓN………………...………………………………………………………………3

CAPITULO Nº 1: “ORIGENES”…..………………………………………………………4 12

1.1 Introducción Histórica…..………………………………………………………………..4

1.2 Aportes en el Análisis Matemático……………………………………………………..5

1.3 Aportes al Álgebra………………………………………………………………………...6

1.4 Importancia de la transformada de Laplace en la ingeniería……………………………………………………………..……………………...6

1.5 Definición……………………………………………..........………………………………8

1.6 Condiciones para la existencia de la Transformada de Laplace………………….9

CAPITULO Nº 2: “ACTUALIDAD”……………………………………………………..12 - 16

2.1 Aplicación de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos eléctricos……………………………………………………………………………………….12

CONCLUSIÓN…………………………………………………………………………………17

BIBLIOGRAFÍA……………………………….………………………………………………18

INTRODUCCION

La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea, junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para estos efectos.

Por excelencia la transformada de Laplace se ha convertido en una de las técnicas matemáticas más usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y ecuaciones Integrales, que consiste en cambiar dichas ecuaciones en un problema algebraico. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema:

El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas. Para poder hacer efectivo este método se requiere de varios resultados previos.

CAPITULO Nº 1: “”ORIGENES”

1.1 Introducción Histórica.

Pierre-Simon de Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge y falleció el 5 de marzo de 1827.

A los 19 años viajó a Paris a estudiar matemáticas, donde rápidamente impresionó a d’Alembert, quien lo apadrinó y le consiguió trabajo de profesor de matemáticas en la École Militaire.

Debido a la gran cantidad de trabajos de calidad que presentó y la variedad de temas que abordó, ya a los 24 años se le conocía como “el Newton de Francia”. El matemático Anders Lexell, contemporáneo de Laplace, escribió que Laplace mismo se consideraba el mejor matemático de Francia, y que “quería opinar acerca de todo”.

Entre los trabajos de Laplace destaca sobre todo su “Tratado de Mecánica Celeste”, obra que publicó en cinco volúmenes entre 1799 y 1825 y que suele considerarse como la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación.

El otro gran aporte de Laplace se encuentra en el campo de la Teoría de probabilidades.

La primera edición de la “Teoría Analítica de las Probabilidades” fue publicada en 1812 y en ella consideró las probabilidades desde todos los puntos de vista: presenta el método de los mínimos cuadrados, el problema de la aguja de Bufón, aplicaciones a la mortalidad, expectativa de vida y a problemas legales; incluye también aplicaciones para determinar la masa de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y un método para determinar el meridiano de Francia. Y contiene lo que hoy conocemos como la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace aparece por primera vez en el trabajo de Euler de 1769, “Institutiones Calculi Integralis”, al resolver la ecuación:

Sin embargo, quizás por la frecuencia con que Laplace la usó y por la profundidad de los resultados que logró, la transformada lleva su nombre.

Durante el siglo XIX se le conocía con el nombre “Método de Laplace” y aunque hubo muchos matemáticos que contribuyeron a la teoría, fue Poincaré quien desarrolla de nuevo la transformada de Laplace. Sin embargo, la transformada de Laplace como la conocemos hoy, se debe al trabajo de Gustav Doetsch de 1937.

1.2 Aportes en el Análisis Matemático.

Asimismo, estudió las ecuaciones diferenciales y la geodesia. Así, es muy conocida la famosa ecuación diferencial de Laplace. Una ecuación del tipo Nabla cuadrado de f = 0 siendo Nabla cuadrado un operador laplaciano. Llamamos Laplaciana, u operador de Laplace, a un operador para un campo escalar que se simboliza como Nabla cuadrado, definido en coordenadas cartesianas rectangulares. Está definido siempre que existan todas las derivadas parciales del segundo miembro.

Conocemos la Transformada de Laplace, como una transformación que asocia a cada función real una función compleja, designada generalmente por L (f). Esta transformada tiene aplicaciones muy interesantes, como la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno. Se utiliza frecuentemente en análisis de circuitos eléctricos y en servosistemas.

En colaboración con Antoine Lavoisier dirigió experimentos sobre la acción capilar y sobre el calor específico. Estableció la relación que expresa la presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada. Este resultado se conoce en física como la Ley de Laplace. Realizó junto a Lavoisier las primeras medidas calorimétricas relativas a los calores específicos y a las reacciones químicas. Estableció la fórmula de las transformaciones adibáticas de un gas, y la utilizó en la expresión de la velocidad de propagación del sonido.

1.3 Aportes al Álgebra.

Laplace publicó varios artículos sobre matrices y determinantes. En 1772 dijo que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran inservibles, y en un artículo en el que estudió las órbitas de los planetas planteó la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin calcularla realmente, usando determinantes. Sorprendentemente, Laplace usó la palabra "resultante", para lo que hoy llamamos determinante. Es curioso, ya que es la misma palabra que usó Leibniz, aunque Laplace seguramente no conocía su obra. Laplace obtuvo el desarrollo de un determinante que ahora lleva su nombre.

1.4 Importancia de la transformada de Laplace en la ingeniería.

El principal uso que ha recibido la transformada de Laplace ha sido en el desarrollo y solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales, ambas de compleja solución. No obstante no todo tipo de ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas implementando las técnicas que nos ofrece la Transformada de Laplace, prueba de ello se da al tratar de solucionar algunos tipos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, motivo que hace que generalmente la transformada de Laplace se aplique a problemas con coeficientes constantes. La técnica de aplicación de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales radica en convertir dicha ecuación en un problema algebraico de más fácil solución. Pero la aplicación de la transformada conlleva a implementar un compendio de propiedades, condiciones y teoremas que enmarca la misma transformada. Pero son dos las condiciones suficientes que deben existir para su correcta aplicación, como son: estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo definido de cero al infinito. También debe ser de orden exponencial. Ahora bien, siendo la transformada de Laplace una herramienta matemática que nos permite solucionar una gran cantidad de problemas con valores iniciales, ha sido la ingeniería en general una de las áreas del conocimiento más beneficiadas por este descubrimiento.

Veamos un claro ejemplo como la transformada de Laplace cobra importancia en la solución de problemas de ingeniería:

En el estudio del control de procesos es importante considerar diferentes modelos dinámicos, modelos que tienen un comportamiento que varía con respecto al tiempo.

Al referirnos a este tipo de modelos se hace esencial el uso y planteamiento matemático de ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo, con el fin de representar su comportamiento. En un intercambiador de calor que funciona bajo ciertas condiciones de cambios de temperatura en el agua a través de vapor, presenta problemas al intercambiar bruscamente la temperatura del vapor y el flujo

...