TRANSFORMADA

TRANSFORMADA Z

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

INTRODUCCION

La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo. La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:

Donde Z es una variable compleja. Otra notación para la sumatoria es Z( X[n] ).

Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en:

Esta transformada se llama unilateral, para distinguirla de la primera definición que toma el nombre de la transformada Z bilateral. La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el análisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.

El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace

necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales.

Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y algebra es con frecuencia más conveniente.

El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier es la transformada Z tomando Z = 1.

La descripción e interpretación de la transformada en el plano complejo permite una más amplia visualización de la relación entre ambas transformadas.

Propiedades de la Transformada Z

Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:

Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]

Siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.

Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada

X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene:

Simultáneamente, se puede demostrar que

Ejemplo

Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condición inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n³0.

Solución

Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene:

Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1

Por tanto,

Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n

Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z].

Demostración

En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n<0.

Ejemplo

Halle la transformada Z de X[n]=anU[n].

Solución

Como la trasformada de U[n] es

es decir

entonces

Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que

Desarrollando la sumatoria, se tiene que

X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n

Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,

Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:

Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.

La Transformada Z inversa. La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada

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